关于保守力判断的数学形式

刘红梅 汪 瑜 徐 莹

(空军航空大学基础部 吉林 长春 130022)

对于保守力的概念，在书中基本上都是从讨论重力、万有引力、弹簧弹力做功角度出发，观察共同特点得出两种表述方式：一种是做功只与始、末位置有关，与质点经历的路径无关，把具有这种做功性质的力称为保守力；另一种表述即质点沿任意闭合路径运动一周，保守力对它所做的功为零，数学表达式

A=∮lF·dl=0

课本上这样讲解之后，学生并不能真正理解什么样的力是保守力，只能片面地记住以上3种力是保守力，并且别人问为什么时，只把前面概念重复一下，对于保守力并没有深刻的认识.本文从力的数学表达式出发，把抽象的保守力概念形象起来.

先来看几个力的表达式，为方便我们把它们用直角坐标表示出来，判断这几个力中哪些是保守力，如：(1)F=(4-2y)i；(2)F=yi+yj；(3)F=3.5x2+x+5；(4)F=x2i+yj；(5)F=2i-yj+2zk.在这几个力中(1)、(2)是非保守力，(3)、(4)、(5)是保守力.在文献[1]中有一道让学生认识功是过程量的实例，我们从此实例出发，归纳其中的特点.

【例题】[1]一质点沿如图1所示的路径运动，求力F=(4-2y)i(SI)对该质点所做的功：

(1)沿ODC；(2)沿OBC.

图1

解析：(1)质点沿ODC从O运动到C

由题意知Fx=4-2y,Fy=Fz=0，在O到D的路径上，y=0,x从零变到2 m；在D到C的路径上，力F与路径垂直而不做功.因此,F所做的功为

(2)质点沿OBC从O运动到C

同理，在O到B的路径上力F与路径垂直而不做功；在B到C的路径上y=2 m，x从零变到2 m.因此，F所做的功为

可见此力做功与路径有关，力F=(4-2y)i为非保守力.

依照上题的解法，如果力的表达式变化了，读者可以自行证明上述5个力的表达式中，哪些力做功与路径无关，哪些有关，可以清楚地看出之前结论的正确性.

下面我们总结一下，如何从数学表达式上来看一个力是不是保守力.理论很简单，来源于功的定义：力所做的功(含义1)等于力与力方向上位移的乘积.想让力所做的功与路径无关只与始末位置有关，只需要这个力在任一方向上的分量满足一个条件，即如果力在某一方向上的分量是某一变量的函数，则要求这一变量必须为此方向变量,比如上述5个力表达式中(3)、(4)、(5)在x轴上的分量分别为变量3.5x2+x+5，x2和常量2，均为x的变量；在y轴上的分量分别为常量零和变量y，-y，均为y的变量；在z轴上的分量分别为常量零，零和变量2z，均为z的变量，所以保守力的函数应为

F=f(x)i+f(y)j+f(z)k

以上结论可以加强学生对保守力的认识，更好地理解什么样的力做功与路径无关，保守力的特性如何在坐标系中体现出来，更直观、形象.但我们也要清醒地认识到这一结论仅是保守力的充分条件，并不是所有的保守力都能写成上述形式.

参考文献

1 康颖. 大学物理(第二版).北京：科学出版社，2010 . 54～55