一道向量高考题的探究和延伸

蔡爱钦

摘 要： 向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，利用它可以有效解决很多问题.但向量题又较灵活，学生因此在高考中失分严重.作者通过2013年安徽理9的探究和延伸，给出了求解向量的常用方法和技巧，揭开了向量神秘的面纱，提高学生对向量的认知和信心.

关键词： 向量 高考题 探究 延伸

随着新课程的不断深入和推进，越来越多的省市加入到自主命题的行列，有关高考试题的信息越来越丰富.如何才能在有限的时间内更有效地开展复习工作，提高复习课的教学效率，应付更加复杂多变的命题方向？只有让学生更扎实地掌握基本技能和基础方法，提高数学思维的素养，才能应对复杂多变的高考试题.从讲题到探题，力图通过课堂教学方式的改变，提高课堂教学效率，提高学生分析问题、解决问题的能力.

平面向量是数学中的重要概念和工具，利用它可以有效地解决很多问题.向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切.平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得广泛应用，笔者通过一道向量高考题的探究和延伸，揭示向量的内在本质，提高学生对向量的认知和信心.

向量的解法从大方向讲有两种，即代数法和几何法，因此此题可以尝试从这两个方向解题.

法一（代数法）：通过建立直角坐标系可得到O，A，B点的坐标，再根据坐标运算可求出点P的横坐标x和纵坐标y，联立方程组解出λ和μ，再去绝对值得到四个二元一次不等式组，画出平面区域可求面积.

法三（几何法）：首先考虑λ>0，μ>0的情况.因为λ+μ≤1，结合基本定理几何意义可知点P的轨迹是三角形AOB及其内部，再讨论其他情况，即可画出点P的轨迹为一矩形，矩形面积就是点集所表示的区域的面积.

法四（特殊值法）：这是一道选择题，当一道题解不出来的时候，可以考虑利用选题题的解题技巧，即临界值法.先考虑 |λ|+|μ|=1的情况.学生对λ+μ=1很熟悉，知道此时点P在线段AB上，再通过对称性很容易画出点P的边界图形，可以算出该区域所表示的面积.

这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法，给我们解向量题提供了思路和方向.数学的学习本身也是一个探究的过程，如果我们对条件进行改变又能得到什么结论呢？

变式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“λ+μ=1“则点P轨迹的形状怎样呢？

变式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“0≤λ≤μ≤1”，则点P轨迹的形状怎样呢？

解析：此题方法也很多，不管利用代数几何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考虑点P在A，B，圆弧AB中点时λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二设点P（x，y）改为设点P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，结合三角即可求出最大值.

法五：利用几何意义，结合正弦定理也可得到λ，μ的等式关系，从而求出最大值.

平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法是一种值得学生花费时间、精力掌握的方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科.向量在高考中灵活多变，题型新颖，但我们只要在平时的学习中多探究、挖掘，掌握处理问题常用方法，抓住问题的本质，就定能在处理向量问题时做到事半功倍.endprint

摘 要： 向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，利用它可以有效解决很多问题.但向量题又较灵活，学生因此在高考中失分严重.作者通过2013年安徽理9的探究和延伸，给出了求解向量的常用方法和技巧，揭开了向量神秘的面纱，提高学生对向量的认知和信心.

关键词： 向量 高考题 探究 延伸

随着新课程的不断深入和推进，越来越多的省市加入到自主命题的行列，有关高考试题的信息越来越丰富.如何才能在有限的时间内更有效地开展复习工作，提高复习课的教学效率，应付更加复杂多变的命题方向？只有让学生更扎实地掌握基本技能和基础方法，提高数学思维的素养，才能应对复杂多变的高考试题.从讲题到探题，力图通过课堂教学方式的改变，提高课堂教学效率，提高学生分析问题、解决问题的能力.

平面向量是数学中的重要概念和工具，利用它可以有效地解决很多问题.向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切.平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得广泛应用，笔者通过一道向量高考题的探究和延伸，揭示向量的内在本质，提高学生对向量的认知和信心.

向量的解法从大方向讲有两种，即代数法和几何法，因此此题可以尝试从这两个方向解题.

法一（代数法）：通过建立直角坐标系可得到O，A，B点的坐标，再根据坐标运算可求出点P的横坐标x和纵坐标y，联立方程组解出λ和μ，再去绝对值得到四个二元一次不等式组，画出平面区域可求面积.

法三（几何法）：首先考虑λ>0，μ>0的情况.因为λ+μ≤1，结合基本定理几何意义可知点P的轨迹是三角形AOB及其内部，再讨论其他情况，即可画出点P的轨迹为一矩形，矩形面积就是点集所表示的区域的面积.

法四（特殊值法）：这是一道选择题，当一道题解不出来的时候，可以考虑利用选题题的解题技巧，即临界值法.先考虑 |λ|+|μ|=1的情况.学生对λ+μ=1很熟悉，知道此时点P在线段AB上，再通过对称性很容易画出点P的边界图形，可以算出该区域所表示的面积.

这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法，给我们解向量题提供了思路和方向.数学的学习本身也是一个探究的过程，如果我们对条件进行改变又能得到什么结论呢？

变式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“λ+μ=1“则点P轨迹的形状怎样呢？

变式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“0≤λ≤μ≤1”，则点P轨迹的形状怎样呢？

解析：此题方法也很多，不管利用代数几何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考虑点P在A，B，圆弧AB中点时λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二设点P（x，y）改为设点P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，结合三角即可求出最大值.

法五：利用几何意义，结合正弦定理也可得到λ，μ的等式关系，从而求出最大值.

平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法是一种值得学生花费时间、精力掌握的方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科.向量在高考中灵活多变，题型新颖，但我们只要在平时的学习中多探究、挖掘，掌握处理问题常用方法，抓住问题的本质，就定能在处理向量问题时做到事半功倍.endprint

摘 要： 向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，利用它可以有效解决很多问题.但向量题又较灵活，学生因此在高考中失分严重.作者通过2013年安徽理9的探究和延伸，给出了求解向量的常用方法和技巧，揭开了向量神秘的面纱，提高学生对向量的认知和信心.

关键词： 向量 高考题 探究 延伸

随着新课程的不断深入和推进，越来越多的省市加入到自主命题的行列，有关高考试题的信息越来越丰富.如何才能在有限的时间内更有效地开展复习工作，提高复习课的教学效率，应付更加复杂多变的命题方向？只有让学生更扎实地掌握基本技能和基础方法，提高数学思维的素养，才能应对复杂多变的高考试题.从讲题到探题，力图通过课堂教学方式的改变，提高课堂教学效率，提高学生分析问题、解决问题的能力.

平面向量是数学中的重要概念和工具，利用它可以有效地解决很多问题.向量具有几何和代数双重性，与几何和代数关系密切.平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得广泛应用，笔者通过一道向量高考题的探究和延伸，揭示向量的内在本质，提高学生对向量的认知和信心.

向量的解法从大方向讲有两种，即代数法和几何法，因此此题可以尝试从这两个方向解题.

法一（代数法）：通过建立直角坐标系可得到O，A，B点的坐标，再根据坐标运算可求出点P的横坐标x和纵坐标y，联立方程组解出λ和μ，再去绝对值得到四个二元一次不等式组，画出平面区域可求面积.

法三（几何法）：首先考虑λ>0，μ>0的情况.因为λ+μ≤1，结合基本定理几何意义可知点P的轨迹是三角形AOB及其内部，再讨论其他情况，即可画出点P的轨迹为一矩形，矩形面积就是点集所表示的区域的面积.

法四（特殊值法）：这是一道选择题，当一道题解不出来的时候，可以考虑利用选题题的解题技巧，即临界值法.先考虑 |λ|+|μ|=1的情况.学生对λ+μ=1很熟悉，知道此时点P在线段AB上，再通过对称性很容易画出点P的边界图形，可以算出该区域所表示的面积.

这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法，给我们解向量题提供了思路和方向.数学的学习本身也是一个探究的过程，如果我们对条件进行改变又能得到什么结论呢？

变式1：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“λ+μ=1“则点P轨迹的形状怎样呢？

变式2：若把“|λ|+|μ|≤1”改为“0≤λ≤μ≤1”，则点P轨迹的形状怎样呢？

解析：此题方法也很多，不管利用代数几何方法都可以解.

法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考虑点P在A，B，圆弧AB中点时λ+μ的值就可得到答案.

法三：把法二设点P（x，y）改为设点P（2cosθ，2sinθ），把λ+μ用θ表示，结合三角即可求出最大值.

法五：利用几何意义，结合正弦定理也可得到λ，μ的等式关系，从而求出最大值.

平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法是一种值得学生花费时间、精力掌握的方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科.向量在高考中灵活多变，题型新颖，但我们只要在平时的学习中多探究、挖掘，掌握处理问题常用方法，抓住问题的本质，就定能在处理向量问题时做到事半功倍.endprint