复单位球上加权Berezin变换的Lp范数*

陈蓉珍,郑 霞,周立芳

(湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000)

复单位球上加权Berezin变换的Lp范数*

陈蓉珍,郑 霞,周立芳

(湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000)

借助超几何函数的性质,结合Schur检验给出了复单位球上加权Berezin变换的Lp范数,推广了Liu和Zhou的关于复单位球上Berezin变换的Lp范数的结果.

超几何函数;加权Berezin变换;Schur检验;算子范数

MSC(2000):47B38,32A26,47G10

0 引言

函数f的加权Berezin变换Bαf是联系由函数f诱导的Toeplitz算子的协变与逆变特征的桥梁[2].它在Bergman空间上的Toeplitz算子理论中发挥了重要的作用[3～6].

本文的主要目的是给出加权Berezin变换在函数空间Lpα(Bn)上的精确范数.由文献[1]中的定理2.10知,当1＜p≤∞时,Bα是Lpα(Bn)上的有界算子,其中L∞α(Bn)为单位球Bn上所有本性有界可测函数构成的全体.本文的主要定理为:

定理1 若1＜p≤∞,则加权Berezin变换Bα在Lpα(Bn)上的范数为:

当p=∞时,上面的式子理解为1.

Berezin变换是由Berezin首次引入的[7].对于单位圆盘上的Berezin变换,它的有界性是已知的事实[8],但它的精确范数直到2008年才由Dostani c'给出[9].文献[10]把Dostani c'的结果是推广到了高维,而本文的结果把文献[10]中的结果推广到了加权的情形.

1 预备知识

本文用到了超几何函数的知识,并用经典符号2F1(α,β;γ,z)表示超几何函数.其定义为:

然后应用引理1即得所要结果.

下面的引理通常被称作Schur检验,它在证明积分算子的Lp-有界性中起到了重要作用[12].

引理4[12]假设(X,μ)是一个σ-有限测度空间,K(x,y)是一个定义在X×X上的非负可测函数, T是与其相关的积分算子,定义为:

2 定理1的证明

然后,结合(2)式得:

对上述不等式两边取极限,令ε→0+,得(10)式.因此(9)式～(10)式也蕴含着

[1]Zhu K.Spaces of holomorphic functions in the Unit Ball[M].New York:Springer,2005.

[2]Ali S T,EnglišM.Quantization methods:a guide for physicists and analysts[J].Rev Math Phy,2005,17(4):391-490.

[3]Ahern P.On the range of the Berezin transform[J].J Funct Anal,2004(215):206-216.

[4]Ahern P,Cuckovic Z.A theorem of Brown-Halmos type for Bergman space Toepliz operators[J].J Funct Anal,2001 (187):200-210.

[5]Zhou Z H,Chen W L,Dong X T.The Berezin transform and radial operators on the Bergman space of the unit ball[J].Complex Anal Oper Theory,2013,7(1):313-329.

[6]Korenblum B,Zhu K.An application of Tauberian theorems to Toeplitz operators[J].J Operator Theory,1995(33):353 -361.

[7]Berezin F A.Covariant and contravariant symbols of operators[J].Math USSR-Izv,1972(6):1 117-1 151.

[8]Hedenmalm H,Korenblum B,Zhu K.Theory of Bergman spaces[M].New York:Springer,2000.

[9]Dostani c'M.Norm of Berezin transform on Lpspace[J].J Anal Math,2008(104):13-23.

[10]Liu C W,Zhou L F.On the p norm of the Berezin transform[J].Illinois J Math,2012,56(2):497-505.

[11]Erdélyi A,Magnus W,Oberhettinger F,et al.Higher transcendental function[M].New York:Vol I McGraw-Hill, 1953.

[12]Zhu K.Operator theory in function spaces[M].Providence:2nd ed Amer Math Soc,2007.

The LpNorm of Weighted Berezin Transform on Complex Unit Ball

CHEN Rongzhen,ZHENG Xia,ZHOU Lifang
(School of Science,Huzhou University,Huzhou 313000,China)

The Lpnorm of weighted Berezin transform on complex unit ball is given by the property of hypergeometric functions and Schur’s test,which extends the Lpnorm of Berezin transform on complex unit ball given by Liu and Zhou.

hypergeometric function;the weighted Berezin transform;Schur’s test;operator norm

O174.56

A

1009-1734(2014)10-0025-05

[责任编辑 高俊娥]

2014-09-20

湖州师范学院大学生创新创业项目(2013087);湖州师范学院科研项目成果(KX21058);浙江省自然科

学基金项目(LQ13A010005).

周立芳,讲师,研究方向:函数空间与算子理论.E-mail:lfzhou@hutc.zj.cn

MSC 2000:47B38,32A26,47G10