环套小球在复合场中运动规律研究

李有福 张金荣 刘婧华

(个旧市第一高级中学 云南 红河 661000)

1 题目场景

A.小球能运动到c点，且此时所受洛伦兹力最大

B.小球能运动到e点，且此时所受洛伦兹力最小

C.小球从a点运动到b点，重力势能减小，电势能增大

D.小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小[1]

图1

2 小球做部分圆周运动时速率与加速度大小变化研究

本题重点考察小球运动中各力做功以及合力做功使得小球所受洛伦兹力何处为最值问题，难度不是很大.但是难度相对较大的小球会做何种运动和在整个运动过程中的速率、合力、加速度随时间如何变化等问题并未涉及.下面先找到等效位置的最低点，由qE=mg前提条件，可知圆弧bc中点f是平衡位置，是等效最低点，然后利用“仿真物理实验室”来解决上述问题.为便于研究将本实验中各参数设为M=1 kg，q=1 C,E=10 N/C,g=10 m/s2,B=10 T，环半径r=1 m.

2.1 小球从a点静止释放(最大摆角135°)

点击“运行”→“试验数据曲线”出现“试验数据曲线”对话框，通过对框内的坐标变量进行设置，可获取小球运动过程中的速率、加速度大小随时间变化的关系图如图2所示.

2）压水施工：各次序灌浆孔在灌浆前采用自上而下分段卡塞、简易压水施工；灌前测试孔及灌后检查孔采用自上而下分段卡塞、单点法压水施工。

图2

由实验发现小球从a点静止释放运动到d点静止，随后在ad间重复运动；结合图2可得小球单程运动中速率与加速度的大小都随时间呈半波形的周期性变化，增减步调相同且最大值都出现在圆弧bc的中点上，速率最大值为6.95 m/s，而加速度大小最大值为48 m/s2.

从a→b点

从b→c点

从c→d点

利用MATLAB绘制a→b点、b→c点、c→d点的at和an随θ的关系图，如图3所示.根据加速度大小增减趋势是由切向加速度的大小和法向加速度的大小中较大者决定，结合3幅图，即可验证加速度的大小从a点至bc中点f过程中一直增加，而从f点至d点过程中一直递减，在f点上取得最大值.

图3 at和an随θ变化关系图

2.2 小球从b点静止释放(最大摆角45°)

由实验发现小球至c点静止，随后在圆弧bc间重复运动，小球运动过程中的速率、加速度的大小随时间的关系图如图4所示.

图4

由图发现小球速率与加速度大小都随时间呈周期性变化，但两者增减步调不再完全相同,速率随时间图呈半波形而加速度大小随时间图呈“W”形.

下面理论分析上述变化的原因:首先速率随时间图呈半波形原因与前面所述原因一样由合力F做正负功；而加速度大小的变化也是由切向加速度与法向加速度的大小中较大者所控制.

2.3 小球从最大摆角约等于41.4°静止释放

图5

小球摆动过程的加速度就随摆角θ的减小而减小，也就是小球刚释放时，摆角θ最大，处于等效最高点，合力有最大值，摆球加速度最大．当θ=0摆球处于等效最低点f时，合力最小，摆球加速度最小．

3 小球做部分圆周运动的周期研究(最大摆角为135°)

以小球都从a点静止释放为例，通过将改变条件后小球的|v|-t，|a|-t图与未改变前的图2进行对照分析.事实上由于小球运动周期恰好是小球速率、加速度大小变化周期的两倍，为方便，直接研究小球速率、加速度大小变化周期.

3.1 改变小球的外力

将带电荷量q与质量m均扩大为原来的2倍即取q=2 C，m=2 kg.结果见图6所示.

图6

实际上将外力扩大或缩小并不影响小球的运动周期，更特别的是小球的速率与加速度的大小随时间的变化趋势也未发生丝毫改变.究其原因这是由于受qE=mg限制，使得小球运动的速率与切向加速度和法向加速度表达式都与质量无关.

3.2 改变小球的轨道半径

将小球的轨道半径扩大取r=1.5 m.结果见图7所示.

图7

连续改变轨道半径，读取对应小球速率与加速度大小的变化周期，如表1所示.

3.3 改变小球的重力加速度

由于地球表面不同纬度的重力加速度的值几乎约为9.8 m/s2相差不大，为了更加清楚地看出g对周期的影响，g取值在8～10.5之间；其次为保证小球的电场力与重力仍相等，场强E也对应改变. 如图8是取g=5 m/s2,E=5 N/C的|v|-t，|a|-t图.

图8

连续改变重力加速度，读取对应小球速率与加速度大小的变化周期，如表2所示.

表2 改变重力加速度小球速率与加速度大小的变化

参考文献

1 马文蔚.物理学.北京：高等教育出版社，1999.40