重力沉降-浓缩稳态过程数学模型及模拟

宋 梨，郭亚兵(太原科技大学环境与安全学院，太原 030024)

浓缩工艺是重力分离的一个重要的手段，在工业浓缩机、沉淀池、分离槽机、沉降槽等设备中都存在浓缩过程；浓缩过程的特性，决定了工艺过程的性能。因此，对浓缩过程的研究从20世纪初开始一直延续到现在。1952年，英国数学家Kynch对浓缩过程的研究工作奠定了沉降-浓缩过程理论研究的数学基础。在随后的几十年中，沉降-浓缩理论不断的发展，20世纪70年代到80年代，发展了沉降-浓缩数学理论，并根据混合理论建立了现象学模型。Bürger对分批和连续浓缩数学模型的数值解法进行了大量的研究，从而建立了浓缩过程现代数学模型。现代数学模型的建立，为沉降-浓缩工艺过程模拟仿真及其设备的选型设计提供了强有力的工具。通过对浓缩设备中的沉降-浓缩过程进行模拟仿真，可对浓缩设备进行科学、合理的设计。郭亚兵等(2011)对沉降-浓缩数学模型中参数获取的试验方法进行了研究，利用固体通量试验数据和流变学试验数据及数据拟合方法，可有效获取固体通量密度函数中的拟合参数及有效固体应力函数中的拟合参数。郭亚兵等(2012)利用数学模型对沉降柱试验过程进行数值模拟，模拟数据与试验数据吻合良好；并利用模拟数据进行了浓缩设备的选型[1-3]。

上述研究主要是对沉降-浓缩过程进行瞬态分析，但在工业实践中，浓缩设备通常处于稳态运行状态，因此，对沉降-浓缩的稳态过程研究在工业实践中就显得非常重要[4-5]。通过稳态模拟，了解稳态过程的浓缩设备工艺参数的变化及其规律就成为本论文的研究任务。

对沉降-浓缩过程进行基本假设的前提条件是：在沉降开始前悬浮液已完全絮凝，絮体尺寸相近且相对于容器尺寸极小。在这种假设下，可以用固体体积分数、Kynch通量密度函数fbk(Φ)、体积平均速度q(t)以及有效固体应力函数σe(Φ)描述沉降-浓缩过程。这些变量服从场方程[6]：

(1)

1 浓缩过程稳态模型

1.1 浓缩机稳态模型

考虑一个浓缩机，其形状为一个圆柱形容器，在容器壁没有摩擦。固体可在容器内通过重力进行沉降，悬浮固体特性是容器高度和时间的函数。给料从池子的顶部z=Z0处进入；沉淀固体从池子的底部即z=ZR处进行排料，从z=ZR到z=Zc为压缩区；z=Zc到z=Z0为干涉沉降区。如图1所示。

当浓缩池进入运行的稳定状态后，在浓缩池内形成了两个稳定的区域：干涉沉降区和压缩区。当工艺参数不变时，两个区域的高度不会发生变化，也不随时间的变化而变化。在干涉沉降区域，悬浮液颗粒之间的动量输送通过液相进行，固体浓度在整个沉降区为常数。在压缩区，固体颗粒彼此接触形成可压缩的连续网状物。固体浓度随着池子高度的增加而减小，直到泥水界面处。在此界面处固体浓度为Φc，称为临界浓度。

图1 浓缩机

对于连续浓缩，以混合速度q(t)<0为控制函数。给料通量与排料通量分别表示为：

(2)

(3)

其中，fF与fD分别为固体给料通量和排料通量。前者是一个控制函数，表达如下：

(4)

其中，QF(t)≥0为给料体积流量，FF(t)≥0为给料固体质量流量，ΦF(t)为给料固体体积分数，ρs是给料固体密度，S为浓缩机的横截面积。后者等同于：

(5)

式中：fD为解的一部分，QD(t)≥0为体积底流流量。

这里所考虑的为浓缩机的稳态形式，当浓缩池正常运行在稳定状态时，在浓缩池任意高度的截面处的浓度Φ=Φ(z)与沉降时间无关。在稳态运行时，固体给料流量与排料流量相等，即fD=fF.

如前所述，在干涉沉降区，固体浓度ФL为常数，其大小由进料固体浓度及其沉降性能决定。其值可为下列非线性方程的最小解。

fF(t)=q(t)Φ(L)+fbk(ΦL(t))

(6)

在压缩沉降区，对于给定参数q，当浓缩池的固体排料浓度ΦD规定后，在浓缩池内压缩区的浓度分布可由下列常微分方程描述：

(7)

在沉降区和压缩区的交界面，固体浓度发生突变，由ФL突变到Φc.浓缩池内的浓度分布如图2所示。

图2 浓缩池中固体浓度分布

值得注意的是对一定的给料固体浓度ΦF，底流浓度ΦD受到物料的特性的影响，ΦD有一定的允许范围，当超过这一范围后，固体压缩层的高度将大于浓缩池的高度，出现不可行解。ΦD的取值最好由两升沉降试验给定。

固体通量密度由下式确定：

(8)

其中，u∞<0，0<Φmax≤1，C≥1.对于固体有效应力函数，可采用以下方程：

(9)

其中，n≥1，σ0>0.

参数u∞、Φmax、C、σ0及n可以利用试验数据，通过数值拟合而得到，它们反应了固体的沉降特性和压缩特性，决定了固体在工业浓缩机中所能得到的最大的底流浓度。

1.2 浓缩机稳态模型数值解法

浓缩机稳态数学模型可由方程(6)、(7)组成。方程(6)描述了稳态过程中的干涉沉降过程，是一个非线性方程，可由非线性方程数值解法如牛顿法进行求解。

方程(7)描述了固体的压缩沉降过程，随着浓缩机高度的增加，固体浓度逐渐减小，直到固体浓度达到临界浓度(也称为粘胶点)。可见方程(7)为常微分方程，可用四阶龙格库塔法进行求解。连续浓缩池压缩过程模拟计算过程如图3。图4为沉降浓缩仿真计算程序，计算方法根据图的流程实现，可进行浓缩机的稳态沉降过程模拟计算。

图3 压缩过程模拟计算过程

2 数值模拟计算实例

利用上述方法及平台，进行了不同固体处理量时圆柱型浓缩机的固体浓度分布及沉淀固体床层高度分析。浓缩机的结构参数：直径为30 m，高度6 m；物料特性：液体比重1 000 Kg/m3，固体比重2 500 Kg/m3，固体处理量分别是50 t/h、100 t/h、150 t/h、200 t/h及250 t/h，底流重量浓度58%(体积浓度35.58%)，临界重量浓度40%(体积浓度21.05%)；固体通量密度函数有关参数为umax=-0.000 27，指数C=21.5及Φmax=0.8；有效固体应力函数参数σ0=1.2，指数n=5.

计算结果显示对应于上述不同的固体处理量，固体床层高度分别为0.72 m，0.83 m，1.0 m，1.27 m及1.82 m；干涉沉降区的固体体积浓度分别是0.001%，0.006 5%，0.010 7%，0.014 7%及0.018 8%；如图5所示。

图4浓缩机稳态模拟程序-固体的计算数据及浓度分布

Fig.4Steady-statesimulationprogramofthickener-solidcomputingdataandconcentrationdistribution

3 结论

模拟程序的开发为沉降-浓缩数学模型开辟了应用领域，将数学模型与相关的试验相结合，可对工业浓缩机进行工艺过程模拟仿真，了解给料参数发生变化时对工艺过程的影响，特别是对底流浓度的影响。对于连续沉降-浓缩过程，模拟仿真可以解决下列问题：

(1)通过给料速率及底流排放速率的不同的组合，可得到不同的底流浓度、不同的固体床层高度；

(2)对于固定的底流固体浓度，可获得不同的固体给料速率时底流固体浓度、固体床层高度及固体的停留时间；

(3)利用方程(6)，可确定不同的固体给料速率时等浓度区的固体浓度。

图5 浓缩机处于稳态运行时，处理量分别为50 t/h、100 t/h、150 t/h、200 t/h及250 t/h时的固体浓度分布情况

参考文献：

[1] BURGER R，CONCHA F.Mathematical model and numerical simulation of the settling of flocculated suspensions[J].Int J Multiphase Flow，1998，24(6)：1005-1023.

[2] BURGER R，DAMASCENO J J R，KARLSEN K H.A mathematical model for batch and continuous thickening of flocculated suspension in vessel with varying cross·section[J].Int J Miner Process，2004，73(2-4)：183-208.

[3] GUO YABING，HU YUXIAN，STEPHEN J S.Parameters estimate of the sedimentation mathematics model from the simple tests [C]∥2010 4th International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering (iCBBE2010)，Chengdu China，2010.6.

[4] 郭亚兵，王守信，李秉正.浓缩过程数学模型及其在浓缩机设备选型中的应用[J].有色设备，2011(2)：10-12.

[5] 郭亚兵，王守信，李秉正.浓缩过程数学模型及其在浓缩机设备选型中的应用(Ⅱ)[J].有色设备，2011(3)：6-8.

[6] 刘斌，郭亚兵.固液分离两项流数值模拟研究[D].太原：太原科技大学，2009.

[7] 赵鑫，郭亚兵.浓缩机设计理论分析及应用[J].太原科技大学报，2013，34(1)：37-41.