泊松分布中参数的经典估计与Bayes估计的相等关系

姚 丽,李轶凡

(1.吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000;2.东北师范大学 生命科学学院，吉林 长春 130024)

文献[1]中称“贝叶斯学派至今尚未证明总体分布p(x/θ)中的参数的任一经典估计都存在一个先验分布，使得其贝叶斯估计就是该经典估计”，这一命题现在仍未解决.由于泊松分布是实际中比较常用的离散分布，并且矩估计和最大似然估计是主要的参数估计方法，为此，以泊松分布为研究对象来探讨命题真伪对于最终解决问题是有益的.本文证明了泊松分布中未知参数的经典估计(矩估计和最大似然估计)，一定存在一个先验分布，使其贝叶斯估计就是该参数的经典估计的结论.

1 泊松分布中未知参数的经典估计

泊松分布是1837年由法国数学家Poisson S.D.首次提出来的，其概率分布列为

其中，未知参数λ>0，记X～P(λ).泊松分布作为一种常用的离散分布，在概率论与数理统计中具有非常重要的意义.

1.1 矩估计

1.2 最大似然估计

泊松分布中样本的似然函数

对数似然函数

2 泊松分布的后验分布

未知参数λ的后验分布

3 泊松分布中未知参数λ在取Ga(α,β)下的Bayes估计

证明 我们知道，在平方损失L(λ,δ)=(δ-λ)2下，任何一个决策函数δ=δ(x)，其后验风险为

4 结论

本文以泊松分布为例，讨论并且证明了其未知参数λ的经典估计(矩估计和最大似然估计)都存在一个先验分布

使得其贝叶斯估计就是该经典估计，这一结论的确定有利于我们继续研究贝叶斯统计中未解决的问题.

参考文献：

[1]茆诗松.贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社,1999.

[2]彭燕.贝叶斯估计和经典估计的对比研究[J].岳阳师范学院学报,2002,15(1).

[3]张尧庭,陈汉峰.贝叶斯统计推断[M].北京:科学出版社,1991.

[4]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2008.

[5]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2006.