中考存在性试题的思维探究

李秀明

存在性探究题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形.解答这类问题，一般先假设所探究的对象已知存在，然后建立适当的数学模型（如函数、方程、不等式等），运用一定的数学思想方法（如数形结合、分类讨论等），通过计算或推理，如果探究出与条件相符号的结果，则说明假设成立，并由此得出问题的结论；否则就不存在.

一、存在直线与抛物线只有一个点

例1：已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1是上.（1）求抛物线的对称轴；（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在说明理由.

思路点拨：①用待定系数法求抛物线的解析式；②根据抛物线的对称轴公式求对称轴，或用配方法求对称轴；③由对称轴的性质求出点A关于x=-■的轴对称点B的坐标；④求点的坐标转化为求过点B直线的解析式与抛物线的解析式组成方程组的解，但别忘了过B点平行于y轴的那条直线.

二、存在直线与直线平行（或垂直）

例2：（2009上海中考）如图，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上点，连结AP.过点P作PF⊥AP，与∠DCE的平分线CF相交于点F.连结AF，与边CD相交于点G，连结PG.（1）求证：AP=FP；（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB、GD，试判断⊙P与⊙G两圆的位置关系，并说明理由；（3）当BP取何值时，PG∥CF.

思路点拨：①先证△ABP∽△PNF，再证△ABP≌△PNF； ②作辅助线，证△APM≌△APG；③由平行线的性质及等腰直角三角形的性质，由（2）的数量关系PG=BP+GD，建立方程求解.

三、存在直线与圆相切

例3：（惠州市中考试题）已知：如图（图略），抛物线y=-■x2-■x+■的图像与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及A，C，点D是劣弧OA上一动点（D点与A，O不重合）.（1）求⊙M的面积；（2）连接CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由.

思路点拨：①求圆的面积关键是求圆的半径；②由直线与圆相切的知识，猜想点D是弧AO的中点，由点D是弧AO的中点证明直线GA与⊙M相切.

四、存在特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）

例4：（2009重庆市中考）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为■，那么EF=20G是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

思路点拨：①用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到；②过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长；③将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等；④第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q 的坐标.

五、存在特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形）

例5：（2011广东中考）如图，抛物线y=-■x2+■x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位.求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由.

评析：本题是代数与几何的综合运用，解题时应多角度、多线索深入分析，灵活运用数形结合的思想、数学建模的思想、分析讨论的思想、转化的思想、待定系数法等多种数学思想与方法.

六、存在三角形相似

例6：（2011深圳市中考）如图①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图②（图略），过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小.若不存在，请说明理由；（3）如图③（图略），在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

评价：本题考查学生二次函数与四边形、相似三角形等几何知识的综合运用能力.

七、存在相等距离（或相等面积、等周长、定值）

例7：（2009上海市中考）二次函数y=-■x2+bx+c的图像经过点A（4，0）、B（-4，-4），且与y轴交于点C.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.endprint

思路点拨：①用待定系数法求二次函数的解析式；②数形结合，求∠BAO与∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分类讨论PH=2QH，根据点Q的位置分两种情况；④利用典型题目的结论，把PH=2QH时点，Q的位置转化为OD、OC的中点问题.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陕西中考）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F.然后再展开平铺，则以B，E，F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCDD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个 三角形；（2）如图②（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？

评析：本题考查学生的阅读理解及图形的操作能力，首先阅读题意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解决有关问题，此过程中画出满足题意的图形是解决问题的关键，然后根据图形，分析出数量关系从而解决问题.

九、“不存在”的问题

例9：（2009上海中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=■.（1）求点P到AB的距离；求直线y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在点Q，使A、P、B、Q对顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，并说明理由.

思路点拨：①求点P到AB的距离要用到垂径定理和勾股定理；②求直线的解析式的前提是求点A、B的坐标，求点A、B的坐标的关键是解直角三角形AOB；③以AB为对角线或者分类讨论菱形的存在性，当AB为对角线时，两条对角线不互相平分；当AB为边时，两邻边不相等.

存在性题型的考察，是对学生对所学数学知识的全面综合的检测，它考察的是学生的分析问题、解决问题的能力，考察学生对所学知识的灵活运用，考察的是学生的学科综合素质.因此，我们的日常的教学中，除了做好双基的教学工作外，还应注意抓好学生的数学意识和数学基本思想以及数学基本能力的培养.

责任编辑 罗峰endprint

思路点拨：①用待定系数法求二次函数的解析式；②数形结合，求∠BAO与∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分类讨论PH=2QH，根据点Q的位置分两种情况；④利用典型题目的结论，把PH=2QH时点，Q的位置转化为OD、OC的中点问题.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陕西中考）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F.然后再展开平铺，则以B，E，F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCDD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个 三角形；（2）如图②（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？

评析：本题考查学生的阅读理解及图形的操作能力，首先阅读题意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解决有关问题，此过程中画出满足题意的图形是解决问题的关键，然后根据图形，分析出数量关系从而解决问题.

九、“不存在”的问题

例9：（2009上海中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=■.（1）求点P到AB的距离；求直线y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在点Q，使A、P、B、Q对顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，并说明理由.

思路点拨：①求点P到AB的距离要用到垂径定理和勾股定理；②求直线的解析式的前提是求点A、B的坐标，求点A、B的坐标的关键是解直角三角形AOB；③以AB为对角线或者分类讨论菱形的存在性，当AB为对角线时，两条对角线不互相平分；当AB为边时，两邻边不相等.

存在性题型的考察，是对学生对所学数学知识的全面综合的检测，它考察的是学生的分析问题、解决问题的能力，考察学生对所学知识的灵活运用，考察的是学生的学科综合素质.因此，我们的日常的教学中，除了做好双基的教学工作外，还应注意抓好学生的数学意识和数学基本思想以及数学基本能力的培养.

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思路点拨：①用待定系数法求二次函数的解析式；②数形结合，求∠BAO与∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分类讨论PH=2QH，根据点Q的位置分两种情况；④利用典型题目的结论，把PH=2QH时点，Q的位置转化为OD、OC的中点问题.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陕西中考）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F.然后再展开平铺，则以B，E，F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCDD的任意一个“折痕△BEF”一定是一个 三角形；（2）如图②（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③（图略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？

评析：本题考查学生的阅读理解及图形的操作能力，首先阅读题意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解决有关问题，此过程中画出满足题意的图形是解决问题的关键，然后根据图形，分析出数量关系从而解决问题.

九、“不存在”的问题

例9：（2009上海中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，⊙P经过点A、点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB=10，AP=■.（1）求点P到AB的距离；求直线y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在点Q，使A、P、B、Q对顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，并说明理由.

思路点拨：①求点P到AB的距离要用到垂径定理和勾股定理；②求直线的解析式的前提是求点A、B的坐标，求点A、B的坐标的关键是解直角三角形AOB；③以AB为对角线或者分类讨论菱形的存在性，当AB为对角线时，两条对角线不互相平分；当AB为边时，两邻边不相等.

存在性题型的考察，是对学生对所学数学知识的全面综合的检测，它考察的是学生的分析问题、解决问题的能力，考察学生对所学知识的灵活运用，考察的是学生的学科综合素质.因此，我们的日常的教学中，除了做好双基的教学工作外，还应注意抓好学生的数学意识和数学基本思想以及数学基本能力的培养.

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