“整式的运算”复习课教学案例评析

龚成军　汤敬鹏

〔关键词〕 数学教学；案例；评析

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）08—0092—02

复习课多以“题型+变式”的形式出现，能把复习课上得像新授课那样“有创意、有发现、有归纳”的并不多见。笔者参加了一次培训活动，活动期间，江苏省张家港市的一位老师上了一节观摩课，笔者深受启发。下面，笔者对该节课的若干精彩片段进行简要回顾与评析，与各位同行分享。

引言：大家好……今天，我们有缘相聚，一起来复习“整式的运算”，这是一件快乐而有意义的事情。论语中有这样一句话“子曰：温故而知新，可以为师矣。”希望同学们通过本课的复习有新的领悟和启发。

设计意图：一方面让学生认识教师并产生好感、好奇，从而对教师上的课充满期待；另一方面让学生明确复习课的目的、意义，从而自觉主动地学习本课。

点评：教师所承担的不仅是传授知识的任务，更应承担对学习方法的指导及文化修养培养的重任，数学教学亦应如此。执教者开场“子曰……”，不仅引导学生关注本课为复习课，复习课就应具有“温故知新”的内涵，而且这个开场语也让这堂课有了丰富的文化意味。

教学片段

1.题组练习，回顾知识要点。自主完成下列各题，并在小组内交流解题思路及用到的知识。

1.单项式-■的系数是 ，次数是 ；2.多项式x2-2x2y+24的次数是 ，其中最高次项的系数是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

设计意图：把基础知识以题组的形式呈现，不仅能让学生在实际练习中回顾知识要点，反馈学习情况，还能有效地避免纯概念复习的空洞无趣。（1）第一第二题让学生回顾单项式和多项式的系数和次数概念。学生易出错的地方有两处，一是误把？仔当成字母；二是对24的认识，会误判次数为4；第三第四题让学生回顾同底数幂的乘除法法则，把（-x2）、（-x）4放一起让学生辨析；第五第六第七题让学生分别回顾零指数幂、负指数幂、幂的乘方、积的乘方法则；第八第九第十题让学生回顾平方差公式、完全平方公式。（2）实际上课时根据情况进行三次变式，一是把第四题变为x8÷x4·x2，这道题考查学生对乘除法顺序的认识；二是把（2m+1）（2m-1）变为-（-2m-1）（2m-1），考查学生对平方差公式的认识和灵活应用。（3）在这个题组中，设置的是比较简单又容易出错的填空题，这样一来能考查学生对易错点的掌握与否，二来可以较快地完成基本知识的复习。

点评：正如执教者所想，复习课如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的单调重复，学生对概念的复习与理解只能是“八戒吃人参果，食而不知其味”。复习课对概念的复习，必须落实在解题的过程中。因此，对题目的选择必须精心。在此，执教者给我们带来了启发，本课的妙处，就在于对题目进行的题组化、变式性的处理。题目的变化始终围绕本课的重点及学生的易错点进行编制，起点不高，便于“温故”，巧妙变化，利于“明辨”。

2 .由浅入深，提升思维能力。

例1 给出三个多项式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）请你选择其中两个进行减法运算；

（2）分别比较A与B、A与C、B与C的大小；

（3）计算：B·C·（A-B）；

（4）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

设计意图：通过给定三个多项式，从最简单的问题出发，进行一连串“低起点、高落点”的变式，既整合了所学的知识，又降低了思维的起点，从而唤起学生的学习兴趣，提高了学生的参与度。（1）通过第一题复习整式的加减运算，提醒学生在多项式代入运算时要加括号，否则容易出现错误；第二题教会学生用作差法比较两个多项式的大小，同时渗透并应用了逆向变换、分类讨论的数学思想；第三题需要连续两次使用平方式公式，既再次巩固了平方差公式，又为第四问要连续使用平方差公式埋下伏笔；第四题由前面含有字母的代数式运算变成了纯数字运算。如果直接运算，工作量太大，且容易出错，故而这里考查学生构造平方差公式灵活解决问题的能力。（2）通过本题，对本章的重点进行了有效复习。

点评：通过教师精心编制的题目，学生放开手脚，发散思维，思想的火花被瞬间点燃。对于问题1，学生更愿意多方尝试，一个小组往往贡献出多个答案，小组间互相竞赛。对于问题4，学生们认真观察式子的结构，在教师引导下积极思考，认真分析，课堂气氛非常活跃。

例2 给出四个整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）计算：■。

设计意图：完全平方公式是整式乘法中的一个重点，也是难点，学生对公式往往不能灵活使用。本题通过给出四个整式，由浅入深，设置了三个不同梯度的问题。（1）第一题比较简单，是让学生进一步复习公式，夯实基础，只需直接应用完全平方公式即可求解，渗透了整体思想；（2）第二题考查学生对完全平方公式能否灵活应用，求解本题时有两种方法，一种是通过写出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知条件代入，通过解方程求解x2+y2的值，渗透了方程思想；另一种是通过完全平方公式的变形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知条件代入求值；（3）第二题中求（x-y）2的值也有两种方法，一种是用完全平方公式展开，利用已求得x2+y2的值来求解；另一种是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知条件代入求值即可求解。本题让学生对完全平方公式有了更深刻的认识；（4）第 三题和例2的第四题类似，也是由含有字母的代数式运算变成了纯数字运算，如果直接运算，工作量太大且易出现错误，故这里也考查学生的建模能力。构造时有两种方法，一种是直接数字构造，即■=■；另一种是巧用字母代替数构造，设2013=a，则■=■。本题充满着探索性和创造性，有效地培养了学生数学建模、字母代数的思想。

点评：长期以来，在一些课堂教学中存在着割裂数与式关系的现象，一些“结论式”的教学，往往就式论式，不讲代数式运算的源，也不将代数式运算还原回数的运算。这样，必然导致学生对代数式运算的来源认识不清，他们也不能将式的运算应用于数的运算之中。对此，执教者看得很透彻，在例2、例3题组中，执教者都加入了应用公式解决数字运算的问题，引导学生将式的运算回归于数的运算之中，这有利于打破学生“式即为式，数即为数”的定势思维，帮助学生逐步形成“式中有数，数中有式”辩证思维方法。

3.小结交流，归纳知识思想。

师：请同学们相互交流，本课复习了哪些知识？你原先哪些有疑惑的知识、思想，通过本课的复习得到了解决？

设计意图：通过相互交流，不仅能把本章的数学知识、思想方法形成网络结构，也能让学生发现自身的学习疑点、知识漏洞，培养学生反思的学习习惯。

点评：归纳交流是高效课堂必不可少的环节，只有回顾梳理学习过程，明白得失，才会让学生的学习更有效。

教学是遗憾的艺术，任何好课也都有值得改进的地方。本课亦然。由于这是一堂示范课，课时的限制让执教者不能尽情发挥，在题组的处理中，执教者不得不舍弃一些值得进一步探究的问题，在教学中也不得不将个别学生的思维火花进行冷却处理。但是瑕不掩玉，这堂课仍然不失为一节不可多得的好课。

？笙 编辑：谢颖丽endprint

〔关键词〕 数学教学；案例；评析

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）08—0092—02

复习课多以“题型+变式”的形式出现，能把复习课上得像新授课那样“有创意、有发现、有归纳”的并不多见。笔者参加了一次培训活动，活动期间，江苏省张家港市的一位老师上了一节观摩课，笔者深受启发。下面，笔者对该节课的若干精彩片段进行简要回顾与评析，与各位同行分享。

引言：大家好……今天，我们有缘相聚，一起来复习“整式的运算”，这是一件快乐而有意义的事情。论语中有这样一句话“子曰：温故而知新，可以为师矣。”希望同学们通过本课的复习有新的领悟和启发。

设计意图：一方面让学生认识教师并产生好感、好奇，从而对教师上的课充满期待；另一方面让学生明确复习课的目的、意义，从而自觉主动地学习本课。

点评：教师所承担的不仅是传授知识的任务，更应承担对学习方法的指导及文化修养培养的重任，数学教学亦应如此。执教者开场“子曰……”，不仅引导学生关注本课为复习课，复习课就应具有“温故知新”的内涵，而且这个开场语也让这堂课有了丰富的文化意味。

教学片段

1.题组练习，回顾知识要点。自主完成下列各题，并在小组内交流解题思路及用到的知识。

1.单项式-■的系数是 ，次数是 ；2.多项式x2-2x2y+24的次数是 ，其中最高次项的系数是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

设计意图：把基础知识以题组的形式呈现，不仅能让学生在实际练习中回顾知识要点，反馈学习情况，还能有效地避免纯概念复习的空洞无趣。（1）第一第二题让学生回顾单项式和多项式的系数和次数概念。学生易出错的地方有两处，一是误把？仔当成字母；二是对24的认识，会误判次数为4；第三第四题让学生回顾同底数幂的乘除法法则，把（-x2）、（-x）4放一起让学生辨析；第五第六第七题让学生分别回顾零指数幂、负指数幂、幂的乘方、积的乘方法则；第八第九第十题让学生回顾平方差公式、完全平方公式。（2）实际上课时根据情况进行三次变式，一是把第四题变为x8÷x4·x2，这道题考查学生对乘除法顺序的认识；二是把（2m+1）（2m-1）变为-（-2m-1）（2m-1），考查学生对平方差公式的认识和灵活应用。（3）在这个题组中，设置的是比较简单又容易出错的填空题，这样一来能考查学生对易错点的掌握与否，二来可以较快地完成基本知识的复习。

点评：正如执教者所想，复习课如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的单调重复，学生对概念的复习与理解只能是“八戒吃人参果，食而不知其味”。复习课对概念的复习，必须落实在解题的过程中。因此，对题目的选择必须精心。在此，执教者给我们带来了启发，本课的妙处，就在于对题目进行的题组化、变式性的处理。题目的变化始终围绕本课的重点及学生的易错点进行编制，起点不高，便于“温故”，巧妙变化，利于“明辨”。

2 .由浅入深，提升思维能力。

例1 给出三个多项式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）请你选择其中两个进行减法运算；

（2）分别比较A与B、A与C、B与C的大小；

（3）计算：B·C·（A-B）；

（4）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

设计意图：通过给定三个多项式，从最简单的问题出发，进行一连串“低起点、高落点”的变式，既整合了所学的知识，又降低了思维的起点，从而唤起学生的学习兴趣，提高了学生的参与度。（1）通过第一题复习整式的加减运算，提醒学生在多项式代入运算时要加括号，否则容易出现错误；第二题教会学生用作差法比较两个多项式的大小，同时渗透并应用了逆向变换、分类讨论的数学思想；第三题需要连续两次使用平方式公式，既再次巩固了平方差公式，又为第四问要连续使用平方差公式埋下伏笔；第四题由前面含有字母的代数式运算变成了纯数字运算。如果直接运算，工作量太大，且容易出错，故而这里考查学生构造平方差公式灵活解决问题的能力。（2）通过本题，对本章的重点进行了有效复习。

点评：通过教师精心编制的题目，学生放开手脚，发散思维，思想的火花被瞬间点燃。对于问题1，学生更愿意多方尝试，一个小组往往贡献出多个答案，小组间互相竞赛。对于问题4，学生们认真观察式子的结构，在教师引导下积极思考，认真分析，课堂气氛非常活跃。

例2 给出四个整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）计算：■。

设计意图：完全平方公式是整式乘法中的一个重点，也是难点，学生对公式往往不能灵活使用。本题通过给出四个整式，由浅入深，设置了三个不同梯度的问题。（1）第一题比较简单，是让学生进一步复习公式，夯实基础，只需直接应用完全平方公式即可求解，渗透了整体思想；（2）第二题考查学生对完全平方公式能否灵活应用，求解本题时有两种方法，一种是通过写出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知条件代入，通过解方程求解x2+y2的值，渗透了方程思想；另一种是通过完全平方公式的变形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知条件代入求值；（3）第二题中求（x-y）2的值也有两种方法，一种是用完全平方公式展开，利用已求得x2+y2的值来求解；另一种是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知条件代入求值即可求解。本题让学生对完全平方公式有了更深刻的认识；（4）第 三题和例2的第四题类似，也是由含有字母的代数式运算变成了纯数字运算，如果直接运算，工作量太大且易出现错误，故这里也考查学生的建模能力。构造时有两种方法，一种是直接数字构造，即■=■；另一种是巧用字母代替数构造，设2013=a，则■=■。本题充满着探索性和创造性，有效地培养了学生数学建模、字母代数的思想。

点评：长期以来，在一些课堂教学中存在着割裂数与式关系的现象，一些“结论式”的教学，往往就式论式，不讲代数式运算的源，也不将代数式运算还原回数的运算。这样，必然导致学生对代数式运算的来源认识不清，他们也不能将式的运算应用于数的运算之中。对此，执教者看得很透彻，在例2、例3题组中，执教者都加入了应用公式解决数字运算的问题，引导学生将式的运算回归于数的运算之中，这有利于打破学生“式即为式，数即为数”的定势思维，帮助学生逐步形成“式中有数，数中有式”辩证思维方法。

3.小结交流，归纳知识思想。

师：请同学们相互交流，本课复习了哪些知识？你原先哪些有疑惑的知识、思想，通过本课的复习得到了解决？

设计意图：通过相互交流，不仅能把本章的数学知识、思想方法形成网络结构，也能让学生发现自身的学习疑点、知识漏洞，培养学生反思的学习习惯。

点评：归纳交流是高效课堂必不可少的环节，只有回顾梳理学习过程，明白得失，才会让学生的学习更有效。

教学是遗憾的艺术，任何好课也都有值得改进的地方。本课亦然。由于这是一堂示范课，课时的限制让执教者不能尽情发挥，在题组的处理中，执教者不得不舍弃一些值得进一步探究的问题，在教学中也不得不将个别学生的思维火花进行冷却处理。但是瑕不掩玉，这堂课仍然不失为一节不可多得的好课。

？笙 编辑：谢颖丽endprint

〔关键词〕 数学教学；案例；评析

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004—0463（2014）08—0092—02

复习课多以“题型+变式”的形式出现，能把复习课上得像新授课那样“有创意、有发现、有归纳”的并不多见。笔者参加了一次培训活动，活动期间，江苏省张家港市的一位老师上了一节观摩课，笔者深受启发。下面，笔者对该节课的若干精彩片段进行简要回顾与评析，与各位同行分享。

引言：大家好……今天，我们有缘相聚，一起来复习“整式的运算”，这是一件快乐而有意义的事情。论语中有这样一句话“子曰：温故而知新，可以为师矣。”希望同学们通过本课的复习有新的领悟和启发。

设计意图：一方面让学生认识教师并产生好感、好奇，从而对教师上的课充满期待；另一方面让学生明确复习课的目的、意义，从而自觉主动地学习本课。

点评：教师所承担的不仅是传授知识的任务，更应承担对学习方法的指导及文化修养培养的重任，数学教学亦应如此。执教者开场“子曰……”，不仅引导学生关注本课为复习课，复习课就应具有“温故知新”的内涵，而且这个开场语也让这堂课有了丰富的文化意味。

教学片段

1.题组练习，回顾知识要点。自主完成下列各题，并在小组内交流解题思路及用到的知识。

1.单项式-■的系数是 ，次数是 ；2.多项式x2-2x2y+24的次数是 ，其中最高次项的系数是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

设计意图：把基础知识以题组的形式呈现，不仅能让学生在实际练习中回顾知识要点，反馈学习情况，还能有效地避免纯概念复习的空洞无趣。（1）第一第二题让学生回顾单项式和多项式的系数和次数概念。学生易出错的地方有两处，一是误把？仔当成字母；二是对24的认识，会误判次数为4；第三第四题让学生回顾同底数幂的乘除法法则，把（-x2）、（-x）4放一起让学生辨析；第五第六第七题让学生分别回顾零指数幂、负指数幂、幂的乘方、积的乘方法则；第八第九第十题让学生回顾平方差公式、完全平方公式。（2）实际上课时根据情况进行三次变式，一是把第四题变为x8÷x4·x2，这道题考查学生对乘除法顺序的认识；二是把（2m+1）（2m-1）变为-（-2m-1）（2m-1），考查学生对平方差公式的认识和灵活应用。（3）在这个题组中，设置的是比较简单又容易出错的填空题，这样一来能考查学生对易错点的掌握与否，二来可以较快地完成基本知识的复习。

点评：正如执教者所想，复习课如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的单调重复，学生对概念的复习与理解只能是“八戒吃人参果，食而不知其味”。复习课对概念的复习，必须落实在解题的过程中。因此，对题目的选择必须精心。在此，执教者给我们带来了启发，本课的妙处，就在于对题目进行的题组化、变式性的处理。题目的变化始终围绕本课的重点及学生的易错点进行编制，起点不高，便于“温故”，巧妙变化，利于“明辨”。

2 .由浅入深，提升思维能力。

例1 给出三个多项式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）请你选择其中两个进行减法运算；

（2）分别比较A与B、A与C、B与C的大小；

（3）计算：B·C·（A-B）；

（4）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

设计意图：通过给定三个多项式，从最简单的问题出发，进行一连串“低起点、高落点”的变式，既整合了所学的知识，又降低了思维的起点，从而唤起学生的学习兴趣，提高了学生的参与度。（1）通过第一题复习整式的加减运算，提醒学生在多项式代入运算时要加括号，否则容易出现错误；第二题教会学生用作差法比较两个多项式的大小，同时渗透并应用了逆向变换、分类讨论的数学思想；第三题需要连续两次使用平方式公式，既再次巩固了平方差公式，又为第四问要连续使用平方差公式埋下伏笔；第四题由前面含有字母的代数式运算变成了纯数字运算。如果直接运算，工作量太大，且容易出错，故而这里考查学生构造平方差公式灵活解决问题的能力。（2）通过本题，对本章的重点进行了有效复习。

点评：通过教师精心编制的题目，学生放开手脚，发散思维，思想的火花被瞬间点燃。对于问题1，学生更愿意多方尝试，一个小组往往贡献出多个答案，小组间互相竞赛。对于问题4，学生们认真观察式子的结构，在教师引导下积极思考，认真分析，课堂气氛非常活跃。

例2 给出四个整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）计算：■。

设计意图：完全平方公式是整式乘法中的一个重点，也是难点，学生对公式往往不能灵活使用。本题通过给出四个整式，由浅入深，设置了三个不同梯度的问题。（1）第一题比较简单，是让学生进一步复习公式，夯实基础，只需直接应用完全平方公式即可求解，渗透了整体思想；（2）第二题考查学生对完全平方公式能否灵活应用，求解本题时有两种方法，一种是通过写出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知条件代入，通过解方程求解x2+y2的值，渗透了方程思想；另一种是通过完全平方公式的变形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知条件代入求值；（3）第二题中求（x-y）2的值也有两种方法，一种是用完全平方公式展开，利用已求得x2+y2的值来求解；另一种是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知条件代入求值即可求解。本题让学生对完全平方公式有了更深刻的认识；（4）第 三题和例2的第四题类似，也是由含有字母的代数式运算变成了纯数字运算，如果直接运算，工作量太大且易出现错误，故这里也考查学生的建模能力。构造时有两种方法，一种是直接数字构造，即■=■；另一种是巧用字母代替数构造，设2013=a，则■=■。本题充满着探索性和创造性，有效地培养了学生数学建模、字母代数的思想。

点评：长期以来，在一些课堂教学中存在着割裂数与式关系的现象，一些“结论式”的教学，往往就式论式，不讲代数式运算的源，也不将代数式运算还原回数的运算。这样，必然导致学生对代数式运算的来源认识不清，他们也不能将式的运算应用于数的运算之中。对此，执教者看得很透彻，在例2、例3题组中，执教者都加入了应用公式解决数字运算的问题，引导学生将式的运算回归于数的运算之中，这有利于打破学生“式即为式，数即为数”的定势思维，帮助学生逐步形成“式中有数，数中有式”辩证思维方法。

3.小结交流，归纳知识思想。

师：请同学们相互交流，本课复习了哪些知识？你原先哪些有疑惑的知识、思想，通过本课的复习得到了解决？

设计意图：通过相互交流，不仅能把本章的数学知识、思想方法形成网络结构，也能让学生发现自身的学习疑点、知识漏洞，培养学生反思的学习习惯。

点评：归纳交流是高效课堂必不可少的环节，只有回顾梳理学习过程，明白得失，才会让学生的学习更有效。

教学是遗憾的艺术，任何好课也都有值得改进的地方。本课亦然。由于这是一堂示范课，课时的限制让执教者不能尽情发挥，在题组的处理中，执教者不得不舍弃一些值得进一步探究的问题，在教学中也不得不将个别学生的思维火花进行冷却处理。但是瑕不掩玉，这堂课仍然不失为一节不可多得的好课。

？笙 编辑：谢颖丽endprint