两阶段脉冲控制螺旋波的数值模拟

杨翠云， 刘海英， 唐国宁

（1.广西师范大学物理科学与技术学院，广西桂林 541004；2.桂林师范高等专科学校物理与工程技术系，广西桂林 541001）

两阶段脉冲控制螺旋波的数值模拟

杨翠云1，2， 刘海英2，*， 唐国宁1，*

（1.广西师范大学物理科学与技术学院，广西桂林 541004；2.桂林师范高等专科学校物理与工程技术系，广西桂林 541001）

提出两种两阶段的螺旋波控制方法，第一阶段用正相脉冲力作用快变量，第二阶段用反相脉冲力作用快变量或用正相脉冲力作用慢变量，用修改后的Bär模型进行数值模拟，结果表明：两阶段的脉冲控制方法比单阶段控制方法更有效地控制螺旋波，作用力可以减少到后者力大小的38%～55%.结果建议，可以通过两阶段控制螺旋波的方法改进心脏电除颤.

可激发介质；螺旋波；脉冲控制

0 引言

螺旋波是一种自维持波，它在物理［1］、化学［2］、生物［3］、生态［4］等系统中都已经观察到.研究表明，当心脏中的电信号出现螺旋波时，会导致心室心动过速；当螺旋波破碎形成时空混沌态时，会出现心室纤维性颤动，危及人的生命［5］.因此，很多学者对螺旋波的动力学行为进行了研究［6－9］，并提出许多抑制方法［10－11］，由于许多消除螺旋波的方法不方便用于心脏的除颤，因此在临床上，人们只采用电除颤方式来消除心脏的纤维性颤动和治疗心动过速.

电除颤器分单相除颤器和双相除颤器［12］，单相除颤器是从正极向负极单向输出电流，整个除颤过程中电流方向不发生改变，采用单相衰减正弦波形除颤，无论首次还是后续电击一律采用360 J；而双相除颤器在放电初期输出正相电流，在第二阶段反转电流极性，输出负相电流.采用双相方波除颤，首次除颤电击能量为120 J，采用双相切角指数波形除颤，首次除颤电击能量为150 J～200 J，后续电击选择相同或递增的能量水平.研究表明［13］：双相波比单相波除颤效果好，是因为电击扩展了细胞的动作电位时程（action potential duration，APD），即在相同的强度下，双相波比单相波扩展APD更多，而且APD空间分布更均匀.但是无论单相电除颤还是双相电除颤，都会出现除颤失败，原因并不是电击电场不足以延长足够多细胞的APD，从而终止心脏中的螺旋波，而是由于除颤电击在终止了原有螺旋波的同时诱发了新的螺旋波［14］.

电除颤方法虽然有效，但是除颤电压依然比较高，还是会损伤心肌组织和造成心肌功能絮乱［15］，影响人的存活率.为了降低电除颤的副作用，提高一次除颤的成功率和人的存活率，临床上还采用电除颤联合药物（胺碘酮）治疗心律失常患者，显著提高除颤成功率，获得了较好的效果［16］.文献［17］提出了三阶段的低能房室除颤方案，在该方案中，先后使用多次双相电击、多次单相电击和抗心动过速起搏，这种除颤方案是通过将螺旋波驱赶出心房边界达到治疗目的，而不像传统除颤方案用强电场在短时间内终止螺旋波（即直接让螺旋波消失），所以需要的除颤能量很少.可见要实现低能除颤目标，不能使用强电场，只能使用弱电场，这又带来电场无法终止螺旋波的问题，如何在弱电场下终止螺旋波值得研究.

本文采用Bär模型研究两阶段控制终止螺旋波的有效性.第一阶段的控制，使用正相方波脉冲作用快变量，使大部分介质处于刚激发后的状态后停止施力；第二阶的控制，既可使用负相方波脉冲作用快变量，也可以使用正相方波脉冲作用慢变量，尽可能让介质直接回到静息态，若之后还出现孤立的激发点，也只会形成靶波后消失.在第一阶段控制结束后延迟一段时间，才开始第二阶段的控制，以达到用小的代价终止螺旋波的目的.数值模拟表明，使用两阶段控制，不但可以有效终止螺旋波，而且可以将第一阶段的脉冲强度降低到原来的38%～55%，为除颤方案设计提供了理论依据.

1 模型和方法

Bär和Eiswirth于1993年提出的二维模型（简称Bär模型）［18］，虽然缺乏对心肌细胞内离子通道的描述，但是该模型提供一种手段去研究可激发介质中螺旋波的宏观性质.修改后的Bär模型动力学方程组为

其中u是快变量（类似心肌细胞的膜电位，其最大值为1），v是慢变量（类似心肌细胞的膜电流），D为系统参数，Fu（t）和Fv（t）分别为作用在快变量和慢变量上的全局脉冲力，系统参数为a、b和ε．当参数a＝0.84、b＝0.07和D＝1.0时，方程（1）描述的介质是可激发介质，ε的大小反映了介质的激发性，ε越大，介质的激发性就越低．在适当初始条件下，当0.01＜ε＜0.06时，介质内可出现稳定的螺旋波，当0.06＜ε＜0.069时介质中螺旋波将发生漫游，当ε＞0.069时，介质中的螺旋波会破碎成时空混沌.

系统参数固定取ε＝0.03，a＝0.84，b＝0.07，D＝1.0，时间积分采用欧拉法和空间二阶导数采用二阶精度的有限差分方法数值解方程（1），空间步长取Δx＝Δy＝0.4，时间步长Δt＝0.02，采用无流边界条件，系统尺寸为Lx×Ly＝120×120，即空间被离散成N×N＝120×120个格点，通过截断平面波的方式产生螺旋波，在上述参数下，螺旋波的周期约为3.36时间单位.

为了实现低能量（小脉冲强度）终止螺旋波，我们使用如下两阶段的控制方案：

第一阶段 用正相方波脉冲力作用快变量（记为A型力）

第二阶段 用反相方波脉冲力作用快变量（记为B型力）

或者用正相方波脉冲力作用慢变量（记为C型力）

式中t∈ 表示脉冲持续时间为 ．第一阶段控制结束后，延迟0＝1.7单位才执行第二阶段的控制，这里

0＝1.7是介质由波峰回到波谷所需要的时间，目的是让介质发生如下转变，介质大部分格点处于波峰状态（u≥0.5，相当心肌细胞的绝对不应态）过渡到大部分格点处于可激发状态（u＜0.5，相当心肌细胞的相对不应态或静息态），以便在实施第二阶段控制后介质中出现传导障碍，使螺旋波消失.

2 数值模拟

为了看出A型力与B型力或C型力混合使用的控制效果，下面我们先分别单独使用A、B或C型力来控制螺旋波，并将控制结果作为参考.

2.1 单阶段控制方法

我们用单个外力来控制螺旋波，称为单阶段控制方法.如果在适当的参数下，螺旋波演化到静息态（或均匀态），则认为在该参数下螺旋波是可控制的.图1给出了A、B、C三型力控制螺旋波的结果，从图1可以看出：给定一个力F，存在一个最小作用时间min，当 ≥min时螺旋波可控；作用力F越强，最小作用时间越短，反之最小作用时间越长；当力弱到一定程度时，将无法使原螺旋波消失，即当作用力撤销后，螺旋波会恢复正常形状．如：当力FA≤0.75时，即使作用时间增加到2.0，也不能使原螺旋波消失．当力FB≤0.62和FC≤0.12时，即使作用时间增加到4.0，也不能使原螺旋波消失.A型力能控制螺旋波的原因是：力的作用使处于绝对不应态的部分格点和处于相对不应态的格点再激发，导致介质出现传导障碍，螺旋波因传导障碍而消失.B型力是通过抑制u变量的增加来抑制螺旋波，因此强的B型力可以使u变量直接衰减到0，导致螺旋波直接消失.从方程（1）可以看出，介质的激发阈值由（v＋b）／a决定，只有当u＞（v＋b）／a，介质才被激发，因此v越大，介质就越不易被激发.C型力的作用效果使v增大，从而可导致介质激发性降低，因此强的C型力可以使空间所有格点的v增加到最大，导致所有格点都不能被激发，使螺旋波无法传播而直接消失.

图1 在不同类型力作用下F－ 参数平面上的可控区（Ⅰ为不可控区，Ⅱ、Ⅲ为可控区.在II区，螺旋波演化到静息态（u＝0），在Ⅲ区螺旋波演化u＞1的均匀态.）Fig.1 Controllable regions on F－ plane with different types of forces（Ⅰis uncontrollable region. ⅡandⅢare controllable regions.In regionⅡ，spiral waves are becoming a resting state（u＝0）. In regionⅢthe system is becoming to a uniform state（u＞1）.）

2.2 两阶段控制方法

现在研究通过两阶段控制来消除螺旋波.采用如下两种方案：方案1为A型控制力＋B型控制力，方案2为A型控制力＋C型控制力，两阶段的时间间隔为0＝1.7．为了解低强度力消除螺旋波的可能性，在下面的研究中，B型和C型控制力分别取FB＝0.6、FC＝0.2，这样当作用时间小于1.2时，在这样大的力作用下不能使螺旋波消失.取A型控制力的作用时间为A＝0.4，0.6．图2给出了不同A和不同两阶段控制方案控制螺旋波的结果，从图1和图2可以看出：①取该参数时，单独使用一种类型的力无法消除螺旋波；②在保证螺旋波可控的情况下，增大A型控制力FA，可以有效减少第二阶段力的作用时间B和C，反之则需要延长第二阶段力的作用时间；③增大A型控制力的作用时间A，在相同的FA下，可以有效降低B和C，这样可以在更小FA下，通过适当延长第二阶段力的作用时间，实现低强度力消除螺旋波的目的．如，当A＝0.4和A＝0.6时，在单一力控制下，要终止螺旋波，需要A型力的最小值分别为FA＝1.6和FA＝1.18．在两阶段控制下，如果采用方案1，需要A型力的最小值分别为FA＝0.88和FA＝0.62，力的强度减少到原来的55%.如果采用方案2，需要A型力的最小值分别为FA＝0.6和FA＝0.4，力的强度减少到原来的38%.

图2 两阶段控制方案下F－ 参数平面上的可控区（Ⅰ为不可控区，Ⅱ为可控区.）Fig.2 Controllable regions on F－ plane for different two-stage control methods（Ⅰis uncontrollable region.Ⅱis controllable region.）

为了解低强度力能有效消除螺旋波的机制，我们计算快变量u≥0.5的格点数与总格点数的比率ρ．图3给出了在不同参数和不同两阶段控制方案下ρ随时间的变化，从图3可以看出，对于方案1，经过第一阶段的控制，大部分格点处于绝对不应态（因为ρ＞0.5），如图4（a）所示.经过第二阶段的控制，93%格点处于相对不应态或静息态，螺旋波波臂变细，如图4（b）所示.之后螺旋波波臂快速膨胀，使绝大部分格点处于绝对不应态，在介质中形成传导障碍，导致螺旋波破碎后消失，形成很多小波，如图4（c）和4（d）所示.最后小波演化为靶波后消失，如图4（e）和4（f）所示.对于方案2，控制过程略有不同，经过第二阶段的控制，99%格点处于相对不应态或静息态，螺旋波直接消失后形成多个小波，以后波的演化与图4（e）和4（f）所示类似.如果第二阶段作用力比较强同时持续时间足够长，经过第二阶段控制，可以使100%格点演化到静息态，这样可以保证一次除颤成功.

图3 在不同参数和不同两阶段控制方案下ρ随时间的变化（虚线为控制的起止时刻，参数为A＝0.4，B＝C＝1.2，0＝1.7．）Fig.3 Ratio ρ versus time in two-stage control methods（Dashed lines indicate start and end times.）

图4 在图3（a）的参数下不同时刻的u变量斑图Fig.4 Patterns of variable u at different moments（Adopted parameters are as in Fig.3（a）.）

显然两阶段控制之间必须有一定的间隔，因为两阶段控制螺旋波的策略是不同的，第一阶段脉冲力是促使格点再激发，第二阶段是抑制格点的激发，这与传统除颤策略不同.当第一阶段结束后，更多的格点已经处于被激发后的绝对不应态，等这些格点回到静息态再施加第二阶段控制，可以充分利用它们自然回到静息态性质，才有利于花费更小的代价，使更多的格点处于静息态，这是导致螺旋波消失的关键.数值模拟也证实，少量减少0的值即可以导致控制失败.因此我们的控制方法与临床使用的方法以及文献［12］使用的双相波脉冲控制方法有所不同，后者虽然与我们的方案1相似，但是双相之间无间歇，而且使用的电击电压依然很高.数值模拟还证实，我们的两阶段控制方法也可以用低强度力有效消除螺旋波湍流态（即时空混沌），这就是说两阶段控制方法既可以控制心动过速，也可以控制心颤.

应当指出，我们也用Luo-Rudy相Ⅰ心脏模型［19］验证了我们提出的控制方案的可行性.选择模型参数除钙电导率比文献［19］小一点外，其它参数与之完全相同.在力的作用时间都为20 ms的情况下，采用方案1，A、B型力都作用在膜电位变量上，两阶段控制需要力的大小可以减少到使用单个力控制需要的大小的40%.采用方案2，A型力作用在膜电位变量上，C型力改为用钠通道阻塞剂使钠电导率由23 ms·cm－2减少到一个较少的值，持续时间为20 ms后恢复到正常值23 ms·cm－2.单独使用钠通道阻塞剂控制螺旋波，钠电导率必须降到6 ms·cm－2以下才能消除螺旋波，使用两阶段方案控制螺旋波，A型力的大小可以减少到使用单力控制所需要的力大小的30%，同时钠电导可从6 ms·cm－2升到14 ms·cm－2也能有效消除螺旋波，这些结果表明我们的控制方案是有效的.

3 结论

提出两种两阶段脉冲控制螺旋波的方法，研究发现：这些方法比单阶段控制方法能够更有效地消除螺旋波和时空混沌，且使用的脉冲力较小，而须付出的代价是，消除螺旋波的时间相对要长.两阶段脉冲控制螺旋波效果好的原因是，采用了先促使介质再激发然后抑制介质被激发的新控制策略，这种新策略的控制效果已经在电除颤联合药物治疗心律失常中得到体现.电除颤就是使用脉冲力作用于膜电位，导致处于相对不应态的细胞再被激发，而使用的药物胺碘酮具有阻断钠、钾通道作用，因此药物具有降低介质激发性的作用，这两种方法同时使用使除颤效果改善.根据我们的结果，如果将电除颤和使用药物按两阶段方式使用，有可能实现无疼痛除颤治疗心动过速和心颤，希望我们除颤方案能够得到实验的验证.

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Simulation on Control of Spiral Wave by Two-stage Pulse Force

YANG Cuiyun1，2，LIU Haiying2，TANG Guoning1
（1.College of Physical Science and Technology，Guangxi Normal University，Guilin 541004，China；（2.Department of Physics and Engineering Technology，Guilin Normal College，Guilin 541001，China）

Modified Bär model is used to study suppression of spiral wave.Methods of suppressing spiral wave by two-stage pulse force control are proposed.In the first stage，fast variable of the model is acted by a positive rectangular pulse force.In the second stage，direction of force is changed to the opposite or the force is acted on the slow variable.It shows that two-stage pulse control method is more efficient than one-stage method，and magnitude of the force is 38%～55%of the latter.It suggests that two-stage method of control of spiral wave can improve defibrillation efficiency.

excitable medium；spiral wave；pulse control

date：2013－09－15；Revised date：2014－01－24

O415.5

A

2013－09－15；

2014－01－24

国家自然科学基金（11165004）及广西教育厅科研项目（201106LX699）资助项目

杨翠云（1972－），女，广西桂林，副教授，硕士，主要从事非线性物理研究，E-mail：yangcuiyun_gl＠foxmail.com

*通讯作者：唐国宁，E-mail：tangguoning＠mailbox.gxnu.edu.cn；刘海英，E-mail：1550682352＠qq.com

1001-246X（2014）05-0625-06