高中物理学习中的数学建模

杨 光 邱国民

（海南师范大学，海南 海口 571158）

高中物理学习的内容，延续初中物理对一些基本量的定性研究，逐步渗入更多的定量计算，介绍一些基本定律，并研究如何带领学习者把基本定律用于解决生活实际问题，培养学习者应用物理理论知识解决现实问题的素养。其间，在掌握物理量与物理定律的基本含义的基础上，解题过程中通过建立数学模型，加深对物理知识的理解。一个物理问题的解决，经历分析理解、简化假设、数学建模、求解验证几个过程[1]，下面以实例进行演示分析。

一、物理学习中的比例关系建模

许多物理定律和规律都存在一个物理量与另一（或几个）物理量之间的比例关系。如万有引力定律、胡克定律（F=k·x）、初速为零的匀变速直线运动的位移与时间的变化规律 （X=at2）、库仑定律、电阻定律、气体三定律和理想气体的状态方程等等，类似这样的比例关系在中学物理中不胜列举，理解了它们的物理意义，运用数学的比例关系来解决有些物理问题非常方便。

图1

例证：如图1所示，三根粗细一样上端开口的长玻璃管，其中都有一段水银柱封闭下面气体，且 V1=V2＞V3，h1＜h2=h3， 三者原先温度相同，后来又缓慢升高相同温度，则管中水银柱向上移动最小的是哪一管[2]。

解析：由于三管中气体上方水银柱长度不变，大气压一定，故三管中被封气体均作等压膨胀。

因C管V初最小，所以△Vc最小，即C管中水银向上移动最少。

此题的结论就是通过比例关系，利用数学的分比定律求得，体现了数学建模的在解决物理问题的作用。

应用比例关系进行建模，一般步骤：一是要理解分析，二是依题意列出各物理量间的比例关系，三是利用数学建模寻求问题突破，五是求解验证。

二、物理学习中的几何图形建模

运用几何图形表达、推导某些物理过程和结论，在考试说明中有明确的要求，且在历年高考物理题中都有所体现。如：带电粒子进入有界的磁场中运动就是要通过建构几何图形解决物理问题。

例证：一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于OX轴的速度V从Y轴上的a点射入图2的图中。为了使该点能从x轴上的b点以垂直于OX轴的速度V射出，可在适当地方加一个垂直于XY平面的磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域最小半径。重力忽略不计[2]。

解析：带电质点在匀强磁场的洛伦兹力作用下做匀速圆周运动发生偏转。

题设质点自a点射入，从b点射出，两方向垂直，因此在磁场区域中它的径迹应是半径等于R的圆上的圆周，并分别与Va、Vb方向相切，过a点作平行X轴直线，过b点作平行Y轴直线，则与两直线均相距为R的点O′就是上述圆的圆心。质点在磁场区域中的径迹就是以O′为圆心，R为半径的圆上的圆弧，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上 （如图2所示）。

图2

以 M、N两点连线 MN为弦可以作许多圆。其中圆面积最小的一个是以MN为直径的圆，圆心为O″。

这个圆形磁场区域的最小半径为：

此题就是较强地运用几何图形结合物理过程进行数学建模，从而求得结果。在几何光学中更大量地用到几何知识，这里就不列举例证。

三、物理学习中的不等式关系建模

图3

物理量经常要求指出它的上限或下限，有时要指出它可能存在范围，这往往要运用不等式进行建模。

例证：如图3所示，在当光滑的绝缘水平面上，有一不导电的轻质弹簧，弹簧两端分别与金属小球A和B（均可视为质点）相连，若让它们带上等量同种电荷，弹簧伸长量为X1，若让它们电量均增加为原来2倍，则不管弹簧的原长和X1关系如何，此时弹簧的伸长量X2的值应在什么范围。

解析：设弹簧原长为L0（自由长），劲度系数为k，设A、B两球原来的带电量都为q，根据题意，由库仑定律得下列方程：

所以：X2<4X1。

因X2>X1，

此题是典型的物理问题利用等式经过合理处理转化为不等式，从而求得物理量的取值范围。这也是解决物理量极值问题的有效方法。

四、物理学习中的函数图象建模

用函数图象表述物理规律是研究物理问题常用的一种方法，在2014年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明理科综合物理部分中对应用数学工具处理物理问题能力阐述的最后一句话是：“必要时能运用几何图形函数图象表达分析”，有些复杂的物理问题只有用函数图象才能解析。例如波在中学阶段尚不能用解析式来描述，应用波的图象来表达、分析是重要的也是唯一的数学手段。

例证：在xy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为1米/秒，振幅为4厘米，频率为7.5赫兹，在t=0.1时刻，P点位于其平衡上方最大位移处，则距P为0.2米的Q点（如图4所示）。

A.在0.1秒时位移是4厘米

B.在0.1秒时的速度最大

C.在0.1秒时的速方向向下

D.在0到0.1秒时间内路程为4厘米

解析：先画出t=0时刻波形，要画波形必须求波长λ，根据公式和题给条件有：λ=v·f=1/2.5米=0.4米。

图4

按照题意，t=0时波形图如图5中实线表示，P点位于平衡位置上方最大位移处，即Yp=4厘米，与其相距0.2米 （恰好相距为半波长），Q点显然应在YQ=-4厘米处，又该波的周期T=1/f=1/2.5秒=0.4秒，所以T=0.1秒时，即在0到1/4T时，根据波向右（X轴正方向）传播，此时波形图如图虚线表示，P、Q两质点分别在P′、Q′位置，且Q点经4厘米路程后正在通过平衡位置以最大速度向上运动。

综上所述，选项B、D正确。

应用函数图象解题，形象、直观、思路清楚，即能达到化难为易的目的，又训练了学习者灵活多变的思维能力。

通过以上物理学习中的数学建模实例分析,我们不难看出,数学建模是解决物理问题的一种重要思想方法。运用数学建模处理物理问题既是学习者学习能力体现，又是提高学习者有效学习的重要途径。当然，除以上物理问题用到数学的比例关系、几何图形、不等式关系和函数图象建模外，还有一些物理问题用到数学的极值、三角函数、相似三角形、等比数列、等差数列等知识进行建模。因此，在物理学科教学中一定要培养学习者建立数学建模的思想方法。

[1]殷堰土.关于中学数学建模教学的思考[J].苏州教育，2003，（3）.

[2]孙 伟.高中物理解题方法[M].延吉：延边大学出版社，2013.