寿命服从PH分布的冷贮备可修系统

赵 丹，周 岩，孟宪云，李海霞

（燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004）

寿命服从PH分布的冷贮备可修系统

赵 丹，周 岩，孟宪云，李海霞

（燕山大学理学院，河北秦皇岛 066004）

研究了由两个不同部件组成的冷贮备系统。假定部件的工作时间服从的是PH分布，且假定部件能够修复如新，部件失效后的修理时间服从指数分布。利用引进变量法、广义的马尔可夫过程和PH分布的性质，得到了系统的瞬时概率分布、系统首次故障前的平均时间、系统稳态概率分布等可靠性指标的Laplace变换表达式。

PH分布；冷贮备；引进变量法；广义的马尔可夫过程；可修系统；可靠性

0 引言

在可靠性分析中，常用的贮备系统有温贮备系统和冷贮备系统，冷贮备系统应用比较广泛，因此受到学者们的关注。所谓冷贮备就是指部件在贮备过程中既不失效也不劣化，贮备期的长短与部件日后使用时的工作寿命无关，贮备部件替换失效部件是通过转换开关来完成的。文献［1］研究了寿命和修理时间服从一般分布的可修系统，文献［2－3］分别研究了含有两个同型和不同型部件的冷贮备可修系统，文献［4］在此基础上针对带有优先权的两不同型部件冷贮备系统进行了可靠性分析，文献［5］研究了有优先权且有两不同修理设备的两部件冷贮备可修系统，文献［6］研究了修理时间服从PH分布、寿命服从指数分布的两个不同型部件、一个修理工组成的并联可修系统，更多关于带有PH分布的可修系统的可靠性分析可参考文献［7－9］。本文在以往文献的研究基础上，对于修理时间服从指数分布、寿命服从PH分布的两个不同型部件、一个修理工组成的冷贮备系统进行了讨论。

1 模型假设

（Ⅰ）部件1的工作寿命服从的是m阶PH分布，其分布函数为G1（t）＝1－αeTte，t≥0，过程的初始概率向量为α＝（α1，α2，…，αm），状态转移概率矩阵为T＝（Tij）m×m，且满足T0＝－Te1＝（，…）′，其中e1为分量全为1的m阶列向量。

部件2的工作寿命服从的是n阶PH分布，其分布函数为G2（t）＝1－βeRte，t≥0，过程的初始概率向量为β＝（β1，β2，…，βn），状态转移概率矩阵为R＝（Rij）n×n，且满足R0＝－Re2＝（，…，）′，其中e2为分量全为1的n阶列向量。

（Ⅱ）部件i故障后的修理时间服从参数为μi的指数分布，其分布函数为Fi（t）＝1－e－μit，t≥0，（μi＞0），i＝1，2。

（Ⅲ）上述所有随机变量是相互独立的。

（Ⅳ）在t＝0时刻，部件1先开始工作，部件2贮备，且两个部件都是完好无损的。转换开关完全可靠且转换是瞬时的。当正在工作的部件瘫痪时，贮备部件立即去替换而进入工作状态，修理工立即修理失效部件；如果两个部件都坏了，则遵循先坏先修的原则，假定修复如新。

2 主要结果及证明

X（t）＝i表示时刻t系统处于状态i，i＝0，1，2，3，4，5。由于系统中所假设的部件寿命不服从指数分布，那么可以验证｛X（t），t≥0｝不是马氏过程。现在引入补充变量：令Z（t）＝j表示正在工作中的部件在时刻t所处的位相，则｛X（t），Z（t），t≥0｝构成了一个广义的马尔可夫过程。此时系统的状态可有

证明由系统的模型假设可得系统的状态为

状态0：部件1开始工作，部件2进入贮备状态。

状态1：部件2开始工作，部件1进入贮备状态。

状态2：部件1修理，部件2开始工作。

状态3：部件2修理，部件1开始工作。

状态4：部件1正在修理，部件2处于待修。

状态5：部件2正在修理，部件1处于待修。

证明由可用度的定义和定理1的结果即可得出结论。

定理2设Z为系统首次失效时间，则Z服从2（m＋n）阶PH分布F（t），且可得系统的可靠度函数为R（t）＝P｛Z≥t｝＝γePte，e为分量全为1的2（m＋n）维列向量，且该函数的Lap lace变换为R*（s）＝

证明将上述马氏过程中的故障状态（4，5）归并为一个吸收态N，则状态空间为j＝｛（0，1），…，（0，m），（1，1），…，（1，n），（2，1），…，（2，n），（3，1），…，（3，m），N｝，对应的转移概率矩阵为：

划去最后一行和最后一列的矩阵为P，其中，P0＝－Pe＝（0，0，R0，T0）T；γ＝（α，0，0，…，0）∈R2（m＋n）；e为分量全为1的2（m＋n）维列向量。则由PH分布的定义可知：系统的首次失效时间Z服从2（m＋n）阶PH分布，再由可靠度的定义及Lap lace变换即可得到定理后半部的结论。

定理3设π＝（π0，π1，π2，π3，π4，π5）为系统的平稳概率分布，其中πi是系统处于状态i的稳态概率，其中，π4，π5∈R＋；π1，π2是n维行向量；π0，π3是m维行向量，则有

证明该随机过程是一个不可约有限状态马氏过程，所以其平稳概率π＝（π0，π1，π2，π3，π4，π5）存在，且满足方程组

将式（8）按方块矩阵展开为：

由式（13）和式（14）可得

将式（15）代入式（11）和式（12）化简得

将上式代入式（15）则有

由式（9）、式（10）和式（11）可得

推论2假设系统的稳态可用度为A，则有

证明由可用度的定义和定理3的结果即可得出结论。

3 结论

本文讨论了部件寿命服从PH分布、修理时间服从指数分布的两不同型部件的冷贮备系统。PH分布是指数分布和几何分布的矩阵类比，它的参数矩阵具有明显的概率意义，将之应用于可靠性分析中，可以较易地得到系统的一些主要可靠性指标，所得结果更具有一般性，因此更加具有实际意义。

［1］ 曹晋华，程侃.可靠性数学引论［M］.北京：科学出版社，2006.

［2］ 李才良，蒲冰远，唐应辉，等.两不同部件冷贮备系统的可靠性分析［J］.电子科技大学学报，2003，32（4）：447－450.

［3］ 周美秀，范伟峰，胡晓晓.两相同部件冷贮备可修系统的定性分析［J］.数学的时间与认识，2009，39（18）：50－53.

［4］ 张民悦，包林涛，段红星.有优先权的两个不同型部件冷贮备可修系统［J］.兰州理工大学学报，2007，33（2）：152－155.

［5］ 贾鹏茹，孟宪云，张晓爽，等.有优先权且有两不同修理设备的两部件冷贮备可修系统的可靠性分析［J］.数学的实践与认识，2010，4（10）：187－192.

［6］ 董兵，唐应辉.修理时间服从PH分布的两部件可靠性分析［J］.西华大学学报，2008，27（3）：69－71，76.

［7］ 岳德权，李兰巧，祁洪娟.PH／M／c可修排队系统［J］.数学的实践与认识，2010，40（8）：132－137.

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O213.2

A

1672－6871（2014）01－0092－05

全国统计科研计划基金项目（2010LC33）；河北省教育厅计划基金项目（2007323）

赵 丹（1986－），女，黑龙江鹤岗人，硕士生；周 岩（1964－），男，黑龙江齐齐哈尔人，副教授，硕士生导师，研究方向为系统的可靠性分析及优化.

2012－04－20