一类分数阶Laplacian方程边值问题解的存在性与唯一性

郑春华，宁艳艳

（陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳712000）

一类分数阶Laplacian方程边值问题解的存在性与唯一性

郑春华，宁艳艳

（陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳712000）

研究了一类分数阶p-Laplacian方程2点边值问题解的存在性，利用Leray-Schauder非线性抉择和Banach压缩映射原理获得了该边值问题解存在性和唯一性的充分条件，得到了一些新的结果.

分数阶微分方程；p-Laplace算子；两点边值问题；Leray-Schauder非线性抉择；Banach压缩映射原理

根据理论和应用中的不同需要，整数阶微积分被人们推广成多种类型的分数阶微积分.由于分数阶微分方程在流变学、材料和力学系统等应用领域的广泛出现，国内外学者开始重视分数阶微分方程的研究［1-3］，并在分数阶微分方程的边值问题方面取得了一些进展［4-9］.

文献［4］利用Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理研究了问题

正解的存在性.

文献［6］在文献［5］的基础上利用Krasnoselskii不动点定理研究了含参数边值问题

正解的存在性.

对于含有p-Laplace算子的分数阶微分方程的研究结果还不是很多，在文献［8］中，作者利用Mawhin连续性定理研究了含有p-Laplace算子的分数阶微分方程2点共振边值问题

解的存在性.

受以上研究工作的启发，本文利用Leray-Schauder非线性抉择和Banach压缩映射原理研究分数阶微分方程的2点边值问题

解的存在性，其中f∈C（［0，1］×R，R），0＜α，β≤1且1＜α＋β≤2，ri∈R且ri≠-1（i＝1，2）.

1 预备知识

引理3［10］设X为Banach空间，U是X的有界开子集且0∈U，T： U→X为全连续算子，则下列结论二择一.

1）T在U中有不动点；2）存在u∈∂U和λ∈（1，＋∞）使得λu＝Tu.

为了方便讨论BVP（1）解的存在性，将它转化为下面的方程组形式

其中q满足1／p＋1／q＝1.显然，证明BVP（1）有解只需证明边值问题（2）有解即可.

引理4 设0＜α，β≤1且1＜α＋β≤2，h1，h2∈C［0，1］，则BVP

从而可知引理4中G1（t，s）的表达式正确，类似可证G2（t，s）的正确性.

定义算子T：X→X，

引理5 T是X→X的全连续算子.

2 主要结果及证明

定理1 若下列条件成立，

1）存在连续函数a（t）和b（t）满足

则BVP（1）至少存在一个解x（t）.

由1＜p≤2知2≤q.如果存在x∈∂U和λ∈（1，＋∞）使得λx＝Tx，则利用引理4和条件1）～3）可得

当2＜p时，也可以得到同样的结论.进而可知

定理2 若1＜p≤2且下列条件成立，

1）存在连续函数c（t）满足

则BVP（1）存在唯一解x（t）.

对∀x1＝（x11（t），x12（t））T，x2＝（x21（t），x22（t））T∈，利用条件1），2）有

［1］MILLER K S，ROSS B.An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations［M］.New York：Wiley，1993.

［2］PODLUBNY I.Fractional differential equation［M］.San Diego：Academic Press，1999.

［3］KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J.Theory and applications of fractional differential equations［M］.Netherlands：Elsevier，2006.

［4］BAIZhan-bing，LYU Hai-shen.Positive solutions of boundary value problems of nonlinear fractional differential equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，311（2）：495-505.

［5］ZHANG Shu-qin.Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2006（36）：1-12.

［6］ZHAO Yi-ge，SUN Shu-rong，HAN Zhen-lai.Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，217（16）：6950-6958.

［7］ZHANG Yin-ghan，BAIZhan-bing.Existence of solutions for nonlinear fractional three-point boundary value problems at resonance［J］.Journal of Applied Mathematic and Computing，2011，36（1／2）：417-440.

［8］CHEN Tai-yong，LIU Wen-bin，HU Zhi-gang.A boundary value problem for fractional differential equation with p-Laplacian operator at resonance［J］.Nonlinear Anal，2012，75（6）：3210-3217.

［9］JIANG Wei-hua.Eigenvalue interval for multi-point boundary value problems of fractional differential equations［J］.Journal of Applied Mathematic and Computing，2013，219（9）：4570-4575.

［10］GUO Da-jun，LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.Orlando：Academic Press，1988.

（责任编辑 梁志茂）

Existence and uniqueness of the solutions to a boundaryvalue problem for a class of fractional differentialequations with p-Laplace operator

ZHENG Chun-hua，NING Yan-yan
（Basic Courses Department，Shaanxi Polytechnic Institute，Xianyang 712000，China）

The class of fractional differential equation with a two-point boundary value problem and p-Laplace operator is studied.By using the Leray-Schauder nonlinear alternative theorem and Banach contraction mapping principle，some sufficient conditions concerning the existence and uniqueness of solutions for this boundary value problem are obtained.Some known results are extended and improved.

fractioal order differential equation；p-Laplace operator；two-point boundary value problem；Leray-Schauder nonlinear alternative theorem；Banach contraction mapping principle

O175.8

A

1672-8513（2014）06-0429-05

2014-04-11.

国家自然科学基金（11271364）；陕西工业职业技术学院科研项目（ZK13-40）

郑春华（1982-），男，硕士，讲师.主要研究方向：微分方程边值问题.