Poisson方程外问题平方收敛的不重叠Schwarz交替法

2014-06-05 03:23董永新王寿城

合肥工业大学学报（自然科学版） 2014年4期

董永新，王寿城

（合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009）

0 引言

文献［1－2］讨论了半平面上不重叠Schwarz交替法，利用极值原理证明了其在极大模意义下的几何收敛性；文献［3］讨论了一个双调和方程两子区域上无重叠的区域分裂法；文献［4］引入松弛因子加速Schwarz交替法收敛速度，论述了径向基函数配点法和不重叠型Schwarz交替法的结合用于求解椭圆方程。总之，解无界区域椭圆边值问题，常用有限元与边界元耦合法，做适当的人工边界，有限区域上用有限元方法，无界区域上用自然边界归化，从而有效地解这类方程。上述方法都是在某一解答过程中创新了一种方法的优良算法［5］。本文在原算法基础上离散二分迭代函数，从二分算法迭代值角度，以Poisson方程外问题为例，讨论二分迭代后新算法的加速收敛性质，数值算例和图像表明该平方收敛算法的优越性。

考虑Poisson方程外问题：

其中，Γ0＝｛（r，θ）｜r＝a，a＞0，｝，θ∈［0，2π］。构造人工边界Γ1＝｛（θ，φ）｜θ＝β，β＞0｝，Γ0的外部与Γ1的内部为Ω0，Γ1的外部为Ω1。

引理1 设投影算子是v到子空间vi的算子［6］：v→vi，i＝0，1，V＝V0＋V1，对∀v∈V，存在a∈［0，1］，使得：

1 离散算法的实现及其误差分析

与（1）式对应的变分问题为：求u∈H1（Ω），使a（u，v）＝（f，v），对 ∀v∈H1（Ω），数值分析基本思想是将连续问题离散化、离散问题连续化，此处将连续问题离散化，构造人工边界时，若Γ0为长条型区域，则取椭圆形人工边界［7－9］。

算法1 平方收敛不重叠Schwarz交替法［1］。问题（1）的泛函记为：

定理1 算法1将问题（1）解的误差收敛较原来以平方速度收敛，误差满足：

算法1相比于不重叠Schwarz交替法具有几何平方收敛性。Ω1上用自然边界元方法，因边界充分光滑，文献［10］推得（1）式的解的直接边界积分表达式为：

进行算法1的有限元模拟，先对Ω1作正则三角形剖分，Pi（i＝1，2，…，N）为内结点，Qi（i＝N＋1，N＋2，…，N＋M）为边界结点，即Ω0h上的线性元空间为Sh（Ω0h），用Γ0h表示剖分在Γ0上的分划，Γ1h表示剖分在Γ1上的分划，Φh表示Sh（Ω0h）在Γ0上的迹空间［1，11］。（1）式的有限元近似：求uh∈Sh（Ω0h），满足a（uh，v）＝l（v），∀v∈Sh（Ω0h）。

算法2 离散平方收敛不重叠Schwarz交替法［1］。算法步骤如下：