一类纵向数据半参数模型误差方差的估计

2014-06-05 03:23:00汪春华钟小芳
关键词:估计量权函数方差

黄 翔, 汪春华, 钟小芳, 周 安

(安徽中医药大学 医药信息工程学院,安徽 合肥 230031)

截面数据下的半参数模型为:

对于该模型的估计问题,文献[1-2]得到了若干较为理想的估计量的大样本性质,文献[3-4]将模型(1)推广到纵向数据情形,并基于最小二乘法和一般的非参数权函数方法讨论了估计的相合性。

纵向数据下的半参数模型为:

其中,xij∈Rp为已知的固定设计点列;β为p维未知参数;g(·)为定义在Rp中一紧集Dp上的未知函数;eij为随机误差,E(eij)=0,0≤Var(eij)=σ2<∞,ei=:(ei1,ei2,…,eini)′,{ei,i=1,2,…,m}相互独立;{ni}为有界正整数序列,即存在正整数M,使得ni≤M,i=1,2,…,m。

在适当条件下,文献[5]讨论了估计量β的强收敛速度和g(x)估计量的一致收敛速度。本文参照文献[5-6]的方法,基于最小二乘法和一般的非参数权函数方法给出了模型(2)中参数β和回归函数g(·)的估计,参照文献[7]的方法构造了σ2的估计量的表达形式,并在适当条件下,证明了误差方差σ2的估计量渐近正态性。由于{ni}有界,样本数目总数n与个体数目m是同阶的,因此m→∞与n→∞等价。

1 估计方法与假设条件

对于模型(2),定义β的估计^β为(3)式的解[5],即

可解得β的估计为:

定义非参数分量g(·)的估计为:

其中,Wkl(x)=Wkl(x;x11,x12,…,xmnm)为定义在闭区域I上一般非参数概率权函数。

定义误差方差σ2的估计为:

本文作如下3种假定。

条件1 假定xij满足:

条件2g(·)是定义在Rp中一紧集Dp上的未知连续函数。

条件3 对x∈I,一致地有:

2 主要结论与证明

定理1 若条件1、条件2和条件3同时成立,并有E|e11|4<∞,则有:

由于 Var()未知,因此定理1无法直接用于统计目的。定义的估计为:

定理2 若条件1、条件2和条件3同时成立,并有E|e11|4<∞,则有:

推论 若条件1、条件2和条件3同时成立,并有E|e11|4<∞,则有:

本文用c表示不依赖于n和m的有限正常数,可取不同的值。

引理1 若存在r≥2,使得E|eij|2r<∞,则

证明 见文献[6]。

引理2 设X1,X2,…,Xn是独立随机变量EXi=0(i=1,2,…,n),r≥2,则有:

证明 见文献[8]第三章定理20。

引理3 假设条件1、条件2和条件3同时成立,并且有supE|eij|r<∞,r≥2,则有:

证明 见文献[9]。

下面给出定理1的证明。经计算可得:

结合(7)式,定理1得证。

定理2的证明。由定理1可知^σ2→PEe211,因此要只需证明:

由引理3可知,T1→0,T2→0,a.s。

推论可由定理1、定理2直接得出。

[1]Stone C J.Consistent nonparametric regression[J].The Annuals of Statistics,1977,5(4):595-645.

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