一类纵向数据半参数模型误差方差的估计

黄 翔， 汪春华， 钟小芳， 周 安

（安徽中医药大学 医药信息工程学院，安徽 合肥 230031）

截面数据下的半参数模型为：

对于该模型的估计问题，文献［1－2］得到了若干较为理想的估计量的大样本性质，文献［3－4］将模型（1）推广到纵向数据情形，并基于最小二乘法和一般的非参数权函数方法讨论了估计的相合性。

纵向数据下的半参数模型为：

其中，xij∈Rp为已知的固定设计点列；β为p维未知参数；g（·）为定义在Rp中一紧集Dp上的未知函数；eij为随机误差，E（eij）＝0，0≤Var（eij）＝σ2＜∞，ei＝：（ei1，ei2，…，eini）′，｛ei，i＝1，2，…，m｝相互独立；｛ni｝为有界正整数序列，即存在正整数M，使得ni≤M，i＝1，2，…，m。

在适当条件下，文献［5］讨论了估计量β的强收敛速度和g（x）估计量的一致收敛速度。本文参照文献［5－6］的方法，基于最小二乘法和一般的非参数权函数方法给出了模型（2）中参数β和回归函数g（·）的估计，参照文献［7］的方法构造了σ2的估计量的表达形式，并在适当条件下，证明了误差方差σ2的估计量渐近正态性。由于｛ni｝有界，样本数目总数n与个体数目m是同阶的，因此m→∞与n→∞等价。

1 估计方法与假设条件

对于模型（2），定义β的估计＾β为（3）式的解［5］，即

可解得β的估计为：

定义非参数分量g（·）的估计为：

其中，Wkl（x）＝Wkl（x；x11，x12，…，xmnm）为定义在闭区域I上一般非参数概率权函数。

定义误差方差σ2的估计为：

本文作如下3种假定。

条件1 假定xij满足：

条件2g（·）是定义在Rp中一紧集Dp上的未知连续函数。

条件3 对x∈I，一致地有：

2 主要结论与证明

定理1 若条件1、条件2和条件3同时成立，并有E｜e11｜4＜∞，则有：

由于 Var（）未知，因此定理1无法直接用于统计目的。定义的估计为：

定理2 若条件1、条件2和条件3同时成立，并有E｜e11｜4＜∞，则有：

推论 若条件1、条件2和条件3同时成立，并有E｜e11｜4＜∞，则有：

本文用c表示不依赖于n和m的有限正常数，可取不同的值。

引理1 若存在r≥2，使得E｜eij｜2r＜∞，则

证明 见文献［6］。

引理2 设X1，X2，…，Xn是独立随机变量EXi＝0（i＝1，2，…，n），r≥2，则有：

证明 见文献［8］第三章定理20。

引理3 假设条件1、条件2和条件3同时成立，并且有supE｜eij｜r＜∞，r≥2，则有：

证明 见文献［9］。

下面给出定理1的证明。经计算可得：

结合（7）式，定理1得证。

定理2的证明。由定理1可知＾σ2→PEe211，因此要只需证明：

由引理3可知，T1→0，T2→0，a.s。

推论可由定理1、定理2直接得出。

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