直线y=kx+b（k≠0）之极值在实际中的应用

滕书会

对于直线y=kx+b（k≠0）本身无最值可言（用于实际问题），但是当我们对一次函数直线y=kx+b的定义域加以限定（m≤x≤n）则可通过k的符号由一次函数的增减性而取其最值，即

k>0时 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

k<0时 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

而这一知识更多地为解决实际问题所用，不妨看下列一题。

例如某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产甲、乙两种产品共50件，已知生产一件A产品，需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元，生产一件B种产品，需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元，设生产A、B两种产品的总利润为y（元），其中一种的生产数为x，试写出y与x间的函数关系式，并利用函数的性质决定生产方案，使之获利最大，并求最大利润为多少？

解析：解决与经济挂钩的实际问题是近年来的一种趋势。这类问题通常具有的特点是文字量大，情景陌生，需要学生有较强的阅读能力和归纳建模能力，但关键是找到决定这一结果的因素是什么，如本题所获利润y（元）由每种产品的件数及每件产品的获利而定，原则上是每件产品获利情况已定，故最终是由各产品的件数来决定，但是不要忘了，各种原料是有限的，从而对件数有一定的限制。如果设A产品的件数为x件，则B产品的件数为（50-x）件，故生产x件A产品可获利700x元，生产（50-x）件B产品可获利1200（50-x）元，所以总利润是y=700x+1200（50-x）=60000-500x。

如果忽略了x所表示的实际意义（件数），则y是x的一次函数，这样我们就可通过限定自变量x的取值范围来决定y的最值，而这一取值范围是由甲、乙两种原料的有限来决定的。下面我们一起来分析甲、乙两种原料的利用情况。

（1）甲原料的利用。生产x件A产品用9x千克，而甲原料是有限的，为360千克，故9x+4（50-x）≤360。 （1）

（2）乙原料的利用。生产x件A产品用3x千克，生产（50-x）件B产品用10（50-x）千克，而乙原料也是有限的为290千克，故

3x+10（50-x）≤290。 （2）

联立（1）、（2）可得关于x的不等式组，解的结果为30≤x≤32。

下面利用（3）来决定y的最值，对于y=60000-500x，其k<0，故y随x的增大而减少，故x越小，y越大，而30≤x≤32，所以当x取最小值x=30时，y最大值为y=60000-500×30=45000（元）。

从而可知获取最大利润的生产方案是：生产A种产品30件，生产B种产品20件。

解：设生产A种产品x件，则生产B种产品为（50-x）件，由题意可知：y=700x+1200（50-x）=60000-500x。

而9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，解之得30≤x≤32。

由一次函数的增减性知，当x=30时，=60000-500×30=

45000（元）。

所以，获取最大利润的生产方案是：生产A种产品30件，生产B种产品20件，所获最大利润为45000元。

综上所述，在用直线y=kx+b（k≠0）条件极值来解决实际问题时，先将结果（如获利润）表示为某一因素的函数，而后利用这一因素的限制条件来获取其最值，这是解题关键所在。

（黑龙江省大庆市第六十一中学）