数学知识呈现方式的思考与实践

陆吉杭

摘 要：随着新课程研究的深入，数学知识材料的呈现在知识表征和课堂组织中的作用越来越突出，也显示了越来越重要的理论与实践价值。在实际课堂教学中，只是数学知识的简单堆砌，缺少最重要的学生自我思维的展开与同化过程；有必要对“优化知识呈现方式”进行内涵思考，追求“知识呈现方式”的效度。在实践过程中，通过“块状式”“串联式”“开放式”“布白式”等方式呈现过程形态的学习材料。在平时的课堂教学中，教师如果能根据自身的特点，采纳这些实践策略进行尝试与落实，定能实现数学知识呈现的实际有效性，更要关注到课堂教学的内涵，关注到学生在课堂上的思维参与度，极大地促进学生的全面发展。

关键词：数学教学；呈现方式；思考总结一、问题的提出

随着新课程研究的深入，数学知识的呈现在知识表征和课堂组织中的作用越来越突出。数学知识的呈现在小学数学教与学的过程中，尤其是在新课程改革的时代背景以及当前数学教学形式化倾向严重的现实背景下，其意义显得更为重要。

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它不仅是一种工具，也是一种思维模式；不仅是一种知识，也是一种素养。数学是具有较强概括性、高度抽象性和严密逻辑性的。因此，数学知识的呈现对于数学学习而言，更具有针对性和现实性，因为概括性的数学需要以学习材料的呈现来实现有效表达；抽象性的数学需要以学习材料的呈现来实现具体化；逻辑性的数学需要以学习材料的呈现来体现程序化。借数学知识呈现的实验与研究，可以实现课堂教学活动的实际有效性，更关注到课堂的内涵，关注到学生在课堂上的思维参与度。

在一次教研课中，经历了如下一幕：

【案例1】“圆的认识”教学片段：

教学圆的认识时，在网络环境下利用CAI课件辅助教学。学生在教师的引导下，点击网页上的相关链接，进入各部分学习内容，进行观察、讨论，学习本课知识。

屏幕上显示大小不同的圆形物体（钟面、车轮、交通标志、呼啦圈等），教师指导学生点击鼠标，让每个图形变成大小不同的圆。

学生点击“圆的形成过程”，屏幕展示圆形成过程的动画：一只小狗脖子上系着一根绳子拴在木桩上，小狗叫着绕木桩跑一周回到起点，小狗跑动的轨迹就是圆。

学习用圆规画圆的方法。学生点击，电脑动画演示圆规画圆的过程，一脚固定，一脚旋转。然后，学生自己尝试画图。

认识圆的各部分名称后，电脑动态展示圆的各部分：圆心、直径、半径，并通过动画演示直径、半径的条数和两者的关系。

从以上案例可以看出，执教者着力于呈现大量生动形象、具体的感知素材，精心设计制作了课件，期待能调动学生的各种感观参与學习，从而有效地认识圆，发现圆的相关知识。可是仔细琢磨，我们却不难发现，教师呈现的许多学习材料，只是一种“简单堆砌”，没有能够发挥更彻底的作用。学生只是在教师的指令下，一步一步被动地去打开学习材料，接受计算机的变相灌输。表面上，学生在短时间里获得了较多的知识，而实质上正是在学生最需要动脑思考的时候，缺少了最重要的自我思维的展开与同化过程，这种披上了“高科技”外衣的知识所带来的负面影响与灌输式教学并无差异。一句话，不是仅仅呈现了“学习材料”就可以的，还应有丰富的能力要素。

二、优化知识呈现方式的实践

“优化知识呈现方式”着力于教师的教学行为，但是以学生的最终学习效果为归宿。学习材料呈现的过程是围绕着教师的教学理念、学习材料的结构特点以及学生的主动建构情况不断展开的教学活动过程。学习材料的呈现需要教师充分运用其先进课程观和教学观，对学习材料的知识结构、学生学习的过程和经历进行分析、解读，更要在课堂教学过程中，发挥出教师的经验和智慧，以期待学习材料呈现的更大效果。

1.“块状”式呈现

“块状”方式是指“把教科书中以横向的‘点为单位的符号系统，按其内在的类特征组成一个整体。”这种结构加工比较强调类知识结构间的横向关联性，因为某一类事物在被认识的过程中蕴涵相同的思维方式，教学就可以打破“只见树木，不见森林”的“点”状模式，把具有类特征的内容整合到一起，凸显“点”状知识背后的思维方式。以“块状”方式呈现，可以丰富学生对具有类结构特征知识内涵的整体认识和结构把握，提升学生的分类、概括、抽象的能力。

【案例2】“乘法分配律”教学片段：

在教学乘法分配律时，教师出示了这样几个学习材料。

（1）一个长方形长5厘米，宽3厘米，周长是多少？

学生列出算式：（5+3）×2；5×2+3×2；

老师追问这两个算式结果怎样？学生得出（5+3）×2=5×2+3×2。

（2）123×3可以用竖式计算：■

还可以这样算：123×3=（100+20+3）×3

=100×3+20×3+3×3

=369

（3）一件上衣30元，一条裤子20元，买4套衣服共多少元？

这道题你能不能也列一个等式？（30+20）×4=30×4+20×4。

（4）客车、货车从甲乙两地相向开出，客车每小时行驶80千米，货车每小时行驶100千米，经过3小时相遇。甲乙两地相距多少千米？

可以先求两辆车每小时一共行驶多少千米，然后再求3个小时一共行驶多少千米：（100+80）×3；也可以分别求出客车、货车3小时分别行驶多少千米，然后再求它们的和是多少：80×3+100×3；这两个算式相等吗？为什么相等？（100+80）×3=80×3+100×3。

通过“块状”方式呈现乘法分配律，学生很容易就能悟出乘法分配律的特征。长方形周长的计算、三位数乘一位数、三套衣服的总价与客货车3小时行的路程等，通过这些相似成分的“块状”呈现，学生悟出其计算的一般方法，有利于学生有效地掌握。这样的教学就可能让学生整体感知和体会到蕴含在数学知识背后的思想和认识事物的一般方法，并在把握一般的同时，又能对各种具体情形进行比较，理解其特殊性。

2.“串联”式呈现

课堂教学中，学生一个一个随机地站起来回答问题，这种学生的资源的呈现是一种“串联”的方式。“串联”呈现资源的方式，既不利于学生对各种资源进行比较、辨析，又不利于形成学生间的互动和思维的碰撞；还容易导致个别学生的“替代思维”。基于上述认识，教师要改变原来的“串联”呈现资源的方式，把具有代表性的不同层次思维的有价值的资源有目的地回收上来，“并联”呈现在黑板上，实现资源的群体共享。让学生先独立思考再以小组方式进行讨论，在比较和辨析中感悟、体验，在比较和辨析中得到提升。

【案例3】“小数的加减法”教学片段：

教师提出问题：12.4+9.97=？

学生独立思考解决问题的方法。

教师巡视，采集样本，同时呈现在黑板上，依次请学生介绍所用的计算方法。

■

请学生比较（1）（2）方法后，教师又拿出学生中的（3）（4）种方法并进行讨论。

■

最后教师又呈现了如下方法：（5）12.4+9.97=12.4+10-0.03

=22.4-0.03

=22.37

本课是学生在“认识小数”后进行“小数运算”教学的第一课时，在本例中，教师没有一味地让学生表面地理解和记忆相同数位对齐就是小数点对齐，为帮助学生理解和提升认识，教师做了如下“呈现”：首先出示学生中的正确资源（1）和（2），解决本课重点也是难点，帮助学生理解相同数位才能相加，其中包括用竖式计算，凸显了小数加法与整数加法的区别和联系；其次是一些错误的资源，能够暴露学生学习此内容的障碍之处，即不知数位如何才算对齐；最后呈现了用凑整法进行简便运算这种方法，有助于激活、打开全体学生思维通道。如果这三类基本资源中的某一类没有，教师应灵活补充。

3.“开放”式呈现

当前，学生被动学习的现象比较普遍，被动地走进校园，被动地步入课堂，被动地接受知识。大多数学生头脑里只是老师“灌输”的内容，离开老师，就不会学习，这样的教学离素质教育差远了。学生是学习的主体，给学生提供“开放”式的课堂教学，充分调动学生的学习积极性，让学生有深入细致思考的机会、自我体验的机会，才能将所学变成他们自己的知识。在学习材料的呈现过程中，我们如何激发學生的学习兴趣，调动他们的主观能动性呢？

【案例4】“24时记时法”教学片段：

例题呈现：红领巾广播站

节目预报

7时30分学校新气象

中午12时20分 儿童歌曲欣赏

下午1时健康教育

15时45分科学家的故事

下午4时30分明日气象

教师把五个时刻及节目做成五张纸条，打乱后放进信封。练习时，让学生倒出这些节目条，根据时间的先后顺序给这些节目排队。（学生正确排序后，还得出这样的体会：由于“24时计时法”书写起来比较简便，而且比较起来也方便，所以通常我们看到的节目表都是用“24时计时法”来计时的）

原书本习题有四个节目条：上午7时30分 学校新气象；中午12时儿童歌曲欣赏；下午1时健康教育；下午4时 科学家的故事。本练习题经教师改编后，呈现的时刻不再是单一的计时法，而需将时刻统一成“24时计时法”或“普通计算法”后，才能排序。这一改编，解决了总是让学生进行“普通计时法”向“24时计时法”的单向转换，一方面，使得现有的情境较原先呈现出更大的开放性，有利于学生更加积极主动地参与到信息的收集、组织、比较等数学思考中来；另一方面，又巧妙地将学生已经具备的相关旧知予以激活，为学生自主探索新知做好认知上的铺垫。

4.“布白”式呈现

我们的教学，长期受“扶，阶梯、拐杖”等思想的制约，学生不会的，教师告诉；思维有难度的，铺设层层阶梯；有时学生自己能解决的，也硬要启发一下。学生长期受老师的启发帮助，接触着没有挑战的学习内容，自然形成了依赖的心理。学习材料的“布白”，就是将布白手法运用于教学的探索过程中，为学生的主动探究提供一个挑战性和支持性的课堂学习环境。虽然这意味着学生可能要面临更多困惑和迷茫，或许花费很多时间和精力后依然前途茫茫，但这个过程是美丽的，是最具包蕴性的时刻，是学生生存、成长与成熟、创造所必经的过程。

【案例5】“长方形的面积”教学片段：

在教学长方形的面积时，出示一个长方形让学生猜猜面积是多少？

用什么方法验证？

生：用面积是1平方厘米的小正方形摆摆看。

于是让学生拿出学具袋，小组之间合作完成。

这时，有的小组很快摆了起来，有的小组却陷入了思考。（因为我给学生的学具袋中小正方形的个数是不一样的，少的小组只有7个，多的小组有12个）

反馈

生1：12个小正方形摆满了长方形，如图2。

生2：用线描出如上图的格子。看看可以放几个这样的格子。

生3：只摆了7个小正方形，如图3。

还有的小组只用了4个摆出了图4。

■

……

教师隐藏了原有学习材料中的一部分，学生无法用简单的“数”得出面积，激发他们在操作基础上辅以深层次的思考：怎么摆才能得出长方形的面积？小正方形不够该如何填补？不仅完整地呈现出长边个数×宽边个数即为长方形面积这一思考过程，也发展了学生的空间想象力，让学生更有兴趣探索开放、多元的学习过程。有人说，数学课堂应该转“知”成“识”，更要转“识”成“智”。对数学学习材料进行“布白”，使学生的认识不要停留在孤立的、静止的、缺乏本质建构的生活经验上，而是把这些生活经验上升为一种数学的智慧，出现了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的局面。

三、反思

在以前的数学知识呈现中，只关注知识点的增长，教学过程多数体现的是一种肢解的思想；对学习材料呈现的认识仅体现在部分内化并转化为行为，因而使得改革仅仅停留在表面的形式化状态，成为情境、活动、技术与开放题的“加法式改革”。因而也就导致在课堂教学中，材料呈现点状的问题，缺乏知识整体的关系意识；材料呈现演绎的问题，缺乏知识形成的过程意识等等。

在教学中，我们不仅要让学生掌握知识，而且要让学生学会自己学习，提高自主探索能力和创造能力。从学生的数学学习反映出，学生是有能力参与探索新知的产生过程的。“优化知识呈现方式的实验与研究”大大增加了学生在课堂上参与建构知识体系的契机，调动了学生的学习积极性，使原来单纯的学习材料呈现过程转向学生体验和自主构建新知的过程，使学生在课堂中形成的知识素养，不再只局限于常规的知识理解、公式把握、解题能力等，更指向学生主动发展的意愿，对知识结构的迁移能力、研究方法的把握、思维品质的提升、思想文化的感悟、思维方式的形成等等。对课堂教学永不停歇地进行多样化、深入化的探索，使得课堂教学的内涵越来越丰富，人们对课堂教学的理解也日臻完善，课堂教学正经历一个不可逆转的转型期。

参考文献:

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（作者单位 杭州师范大学附属丁兰实验学校）

?誗编辑 杨兆东