论高中数学解题过程与数学反思

杨如君

数学反思，即在学习数学知识、推导数学公式、论证定理及解决数学问题的过程中，对所使用的方法、思路、计算手段等数学活动的回顾与总结，并试图建立起一种“模式”，以便为学习与解决相类似的数学知识与问题时所借鉴、使用。可以说，数学反思是学好数学的一个重要途径，是提高数学分析问题解决问题能力的有效手段，是提升数学创新能力的必要的保证。

一道数学问题，尤其是一道较为综合的数学问题，经过一番苦思冥想、艰辛的计算解出答案之后，如果能继续进行一番思索，那么收获的就不仅仅是这一道数学问题的解决了。

通过反思，不仅可以提高解题能力，而且也能使思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华。下面，我就数学解题过程中的各个环节应该进行的数学反思，谈一下自己的一些认识和体会。

一、审题是关键，反思是否挖掘了问题的所有条件

审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何，直接影响到解题的成败。审题的基本要求是弄清题目的条件和结论。对一些简单的基本题，只要认真审题，一般来说都能准确找出条件与结论之间的联系，从而确定解题方法与步骤。然而对于那些比较综合性的题目，审题的要求就比较高了，往往问题中会“隐藏”着一些条件不易被发现，从而使问题的“难度”人为地增大。认真审题，挖掘条件与结论的联系，在充分理解题意的基础上，找到解题的关键，理清解题思路后，再实施解题。

在这个过程中主要应该反思：这个题求什么？知道什么？条件和结论之间有什么的关系？从条件出发得到结论还存在着哪些困难？我学过什么？解这样的题目要用到哪些知识？有什么样的常规方法？有没有特殊的方法？

二、确定解题思路，反思所用数学方法是否最优化

一些人觉得自己做了很多数学题，却感到数学解题能力没有明显提高，原因在于他们在解题时往往满足于做出多少数学题目，而对于自己的解题方法的优劣，却从来不加以考虑，作业中经常出现解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，这是思维过程缺乏灵活性、批判性的表现，也是思维创造性水平不高的表现。因此，要及时反思自己所选择的解题方法是怎么想到的？我选的方法是不是最佳捷径？我的解法还能不能再作些改进与优化？重新审视自己的思维过程，变换角度寻找、观察题目所独具的基本特征，努力寻找解决问题的最佳方案。

三、观察问题结论，反思结果的合理性

在解数学题时，有时会因为审题不细、概念不清、挖掘条件不深、没有理清条件与结论的关系、对问题的其他情况考虑不周或计算出错等原因，面产生了这样或那样的错误。一道题做错了，总能感觉到问题的结果在某些地方不太“合常理”。可能是结论与所期望相差较大，也可能感覺问题应该不止有一种情况，而所得结论没有体现出来等等。这时你应该立即反思，这个结果是否具有合理性？若不合理，错在哪儿？这样的反思不会耽误多长时间，但通过对解题结果的反思，剖析错误形成原因，这不仅是一个对基础知识、基本概念重新理解的机会，而且能在纠正错误的过程中进一步筑牢数学基础知识，进一步加深对基本概念本质的理解。对以后类似的问题也提供了一个很好的借鉴，少走弯路或错路，能提高对问题的正确判断。

四、总结解题策略，反思解题规律和数学基本思想方法

高中数学问题千变万化，题山题海，令人眼花缭乱、防不胜防。但是，很多数学问题不是孤立的，有其产生的背景，能体现知识间的相互联系。要想彻底从题海中解脱出来，就必须要有目的地对所做习题进行分析、归类、总结，既要掌握一类问题基本的解题规律，又要能够分析具体方法中包含的数学思想方法，以达到举一反三的目的。这样不仅有利于基础知识的掌握，而且对当前命题中“源于课本，高于课本”的原则也有一定的针对性。在解完某一类题目后，要对题目的解题过程进行类比性反思，再看看问题的解题过程，特别要注意在这些过程中相同方法的归纳概括，通过类比反思你能发现什么？比如：它们都是由某个实际问题作背景演变而来；解决时都用到了相同的知识；都用到了相同或相近的数学思想方法等等。由此可见，通过解题反思、总结解题规律，不仅能比较容易得抓住问题的本质，将问题由个别推向一般，使问题不断深化，又训练和培养归纳思维能力，很好地体现了化归的数学思想，有效地提高了解题能力，这就超出了题目本身的意义，远比单纯的解几道题意义重大。

五、拓展延伸，反思数学问题的立意

当解完一道较为综合的数学题后，仅仅是如释重负：我成功地利用了某某数学思想方法，运用了某某策略，又攻克了一道难题！那么你就仅仅只是攻克了一道难题而已。一个数学问题的解决，并不等于这个问题思维活动的结束，而是对这个问题进行深入研究的开始，如果此时停止了这个问题的思维活动，将错过反思的大好良机。这时如果能进一步深入分析题目条件和内涵，探求本题目中有哪些性质是不变的，掌握其本质我们就可以将已知的具体题目进行推广。善于进行推广，我们所获得的就不是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法。

解决数学问题是学习数学的一个重要组成部分，是检验是否真正学会了数学以及对数学问题的掌握程度的一个重要标准。而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量。如果解题过程中仅仅满足于获得正确答案，而不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就只能停留在经验水平上，只有“一加一等于二”的收获，不会得到质的提升。如果在解题过程中对自己的思路、解法作认真反思，那么就会使自己的思维在更高的层次上进行再概括，并促使思维进入理性认识阶段。因此，我们必须从解决每一道数学问题，每一个细节抓起，及时注意数学反思，就能提高学习数学的兴趣，逐步提高数学解题能力。这样，可以提高思维的自我评价水平，养成良好的数学思维品质，使解题能力和思维品质能在更深、更高层次上得到提升。