利用导数求参数的取值范围

周文国

导数作为重要的工具能够帮助我们对函数性质和图象有深刻的认识和理解，运用导数研究函数中参数的取值范围是高考中的重点内容之一，让我们一起走进导数中求参数取值范围的问题.

一、数形结合，以静制动

例1若函数f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有两个零点，则实数a的取值范围是.

分析：本题可先将函数拆分为两个函数y=2x+a和y=ex，并通过数形结合来进行研究.

解：当直线y=2x+a和y=ex相切时，仅有一个公共点，这时切点是（ln2，2），直线方程是

y=2x+2-2ln2，将直线y=2x+2-2ln2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.则此时可求得实数a的取值范围是（2-2ln2，+∞）

点评：通过数形结合将复杂函数的零点问题转化为两个较为简单的函数图象的交点问题，是解决很多导数与函数结合问题的常用方法.

二、转化函数，分类击破

例2已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）.（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）的切线，求a的值；（2）若对于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由.

分析：本题是研究不等式的恒成立问题，一般可以转化为研究函数的最值问题，从而得到参数的取值范围.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

将y=（e+a）x与y2=4（x-1）联立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①当a>0时，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上单调递增，且当x→-∞时，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合题意；

②当a=0时，f（x）=ex>0对x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合题意；

③当a<0时，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）<0；

当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）>0，则f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），综上a的取值范围为（-e，0].

（3）当a=-1时，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假设存在实数x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即为方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因为ex>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，则φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

当01时，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解为1，所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0=1.

导数作为重要的工具能够帮助我们对函数性质和图象有深刻的认识和理解，运用导数研究函数中参数的取值范围是高考中的重点内容之一，让我们一起走进导数中求参数取值范围的问题.

一、数形结合，以静制动

例1若函数f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有两个零点，则实数a的取值范围是.

分析：本题可先将函数拆分为两个函数y=2x+a和y=ex，并通过数形结合来进行研究.

解：当直线y=2x+a和y=ex相切时，仅有一个公共点，这时切点是（ln2，2），直线方程是

y=2x+2-2ln2，将直线y=2x+2-2ln2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.则此时可求得实数a的取值范围是（2-2ln2，+∞）

点评：通过数形结合将复杂函数的零点问题转化为两个较为简单的函数图象的交点问题，是解决很多导数与函数结合问题的常用方法.

二、转化函数，分类击破

例2已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）.（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）的切线，求a的值；（2）若对于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由.

分析：本题是研究不等式的恒成立问题，一般可以转化为研究函数的最值问题，从而得到参数的取值范围.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

将y=（e+a）x与y2=4（x-1）联立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①当a>0时，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上单调递增，且当x→-∞时，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合题意；

②当a=0时，f（x）=ex>0对x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合题意；

③当a<0时，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）<0；

当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）>0，则f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），综上a的取值范围为（-e，0].

（3）当a=-1时，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假设存在实数x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即为方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因为ex>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，则φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

当01时，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解为1，所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0=1.

导数作为重要的工具能够帮助我们对函数性质和图象有深刻的认识和理解，运用导数研究函数中参数的取值范围是高考中的重点内容之一，让我们一起走进导数中求参数取值范围的问题.

一、数形结合，以静制动

例1若函数f（x）=ex-2x-a在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上有两个零点，则实数a的取值范围是.

分析：本题可先将函数拆分为两个函数y=2x+a和y=ex，并通过数形结合来进行研究.

解：当直线y=2x+a和y=ex相切时，仅有一个公共点，这时切点是（ln2，2），直线方程是

y=2x+2-2ln2，将直线y=2x+2-2ln2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.则此时可求得实数a的取值范围是（2-2ln2，+∞）

点评：通过数形结合将复杂函数的零点问题转化为两个较为简单的函数图象的交点问题，是解决很多导数与函数结合问题的常用方法.

二、转化函数，分类击破

例2已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=exlnx（e是自然对数的底数）.（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y2=4（x-1）的切线，求a的值；（2）若对于任意x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗，f（x）>0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a=-1时，是否存在x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由.

分析：本题是研究不等式的恒成立问题，一般可以转化为研究函数的最值问题，从而得到参数的取值范围.

解：（1）f′（x）=ex+a，f′（1）=e+a，所以在x=1处的切线为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即y=（e+a）x，

将y=（e+a）x与y2=4（x-1）联立，消去y得（e+a）2x2-4x+4=0，由Δ=0知，a=1-e或a=-1-e.

（2）f′（x）=ex+a，

①当a>0时，f′（x）>0，f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上单调递增，且当x→-∞时，ex→0，f（x）→-∞，

故f（x）>0不恒成立，所以a>0不合题意；

②当a=0时，f（x）=ex>0对x∈〖WTHZ〗R〖WTBX〗恒成立，所以a=0符合题意；

③当a<0时，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln（-a），当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）<0；

当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）>0，则f（x）在x∈（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）>0，所以a>-e，又a<0，所以a∈（-e，0），综上a的取值范围为（-e，0].

（3）当a=-1时，由（2）知f（x）min=f（ln（-a））=-a+aln（-a）=1.

设h（x）=g（x）-f（x）=exlnx-ex+x，则h′（x）=ex（lnx+〖SX（〗1x-1）+1，

假设存在实数x0∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x0处的切线斜率与f（x）在〖WTHZ〗R〖WTBX〗上的最小值相等，x0即为方程的解，令h′（x）=1得，ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0，

因为ex>0，所以lnx+〖SX（〗1x-1=0.令φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1，则φ′（x）=〖SX（〗1x-〖SX（〗1x2=〖SX（〗x-1x2，

当01时，φ′（x）>0，所以φ（x）=lnx+〖SX（〗1x-1在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.所以φ（x）>φ（1）=0，故方程ex（lnx+〖SX（〗1x-1）=0有惟一解为1，所以存在符合条件的x0，且仅有一个x0=1.