数学常规解法与模型解法之思*——以排列组合中的典型问题为例

江苏省如皋高等师范学校 纪宏伟



数学常规解法与模型解法之思*——以排列组合中的典型问题为例

江苏省如皋高等师范学校 纪宏伟

该文以排列组合中的分球入箱、装错信封、传球问题、质点运动问题为典型案例，对比探讨了数学常规解法和模型解法的不同特点，得到结论：两者没有绝对的优劣高低之分，在教学实践中应辩证对待模型解法与常规解法的关系，重视两种解法形态在解题中的作用，只有适合学生的解法才是最优化解法，只有适合学生的解题教学才是最优化解题教学。

常规解法 模式解法 优化教学 排列组合数学

随着课程改革的进展，数学解题教学中追求解法多样化已成为一种普遍的解题教学取向，一题多解作为一种培养学生发散性思维的重要形式，已广泛应用于数学教学。在一道题的多个解法中，往往包含着两个解法形态，其中常规性解法采用的是具有普遍意义的技巧和具有代表性、典型性、一般性的方法，最能体现出思考过程的自然性；而所谓模型化解法，则是就题目所反映出的特征，对问题进行延伸、拓展、推广，从而总结提炼出一般化、扩展化的解法，一般具有更广的适用性。本文拟结合排列组合的四个典型问题，谈谈对这两种解法的认识，分享数学经验。

1 具体实例

1.1 “分球入箱”问题

例1 把9个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号数，则不同的分球方法有多少种？

解法1 由题意可知在编号为1的箱子中放球的个数应该为1个，2个，3个，4个，共4种情形（不少于编号1，且余下球至少要5个）。依次类推得树形图如下：

1+2+3=9 (1≥1,2≥2,3≥3) ①

解法1利用树图把思考过程一览无遗地展示出来，利于发现、探索其中的变化规律，是一种简单而直观的方法，应视作常规解法。解法2和解法3采用的是隔板法，适用于“隔板模型”，对解决名额分配、相同元素的分配等问题特别有效。

1.2 “装错信封”问题

例2 编号为1、2、3、4的信投入编号为1、2、3、4的信箱，每个信箱投一封，但信的号码与信箱号不能相同，问有多少不同的投法？

解法2 把各种方法一一列举出来，如下表所示：

四封信各种投信的方法 1222333444 2134144133 3441412212 4313221321 投法编号法1法2法3法4法5法6法7法8法9

解法 3 参见文献[1]推导的一般公式：

1.3 “传球”问题

例3 三人传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手上，则不同的传球方式共有多少种？

解法1 如图2所示：

甲→□→□→□→□→甲

解法2 如图

同理，甲传给丙也可以推出5种情况，所以共有10种方法。

解法1和解法2一个用“□”，一个用线条来辅助思考，使看不见摸不着的动态传球问题变得形象直观，是常规解法，但是将问题向一般情况推广，这种处理方式显然无能为力。解法3采用递推法，由递推关系得出问题的解，这种解法适合该问题的一般情况，显然具有普适性，是模型化解法。

1.4 “质点运动”问题

解法1 此运动方法枚举如下：

所以共有5种方法。

解法1采用的是枚举法，将质点的全部运动过程清晰直观地展示出来，虽较为繁琐，但其结果却做到一目了然，应该是常规解法。解法2采用的是方程解法，对解决类似问题具有仿照和指导作用，可参见文献[3]，可视之为模型化解法。

2 一些思考

2.1 一题多解是值得提倡的教学方式

做题是对知识点的检验和应用的过程，也是积累做题技能的过程，学好数学，必须做题，做大量的题，这是没有异议的，正如华罗庚所说“学数学不做题，犹如入宝山而空返”。但是现实情况是，有不少同学花费了不少时间，做了很多的题，解题能力还是一般，成绩还是难以提高。分析原因，主要是思维没得到锻炼，为了做题而做题，不能举一反三，灵活应变。实践表明，学生做不出的题或者解答不完善的题，一般都是那些知识点多、环环相扣、考查跨度大、综合性强的题。想要解决这个问题，就需要建立完整、系统的知识网络和体系，当知识点多的题目出现时，学生就可利用所构建的知识系统进行搜索，找到所需要用到的知识点，理清它们之间的内在联系，从而找出解题思路[4]。一题多解正是帮助构建学生知识网络和知识系统，促使知识点之间融汇贯通的有效方式。此外，教师多开展一题多解的教学活动，有利于提高学生对问题本质的认识和理解，这是发展学生发散思维和逻辑思维能力的好方法[5]。

2.2 辩证对待模型解法与常规解法的关系

模型解法是对问题扩展之后形成的解法。这种解法把一类相同类型的题目的解法总结提炼，升华为理性的解题策略和具有更广适应性的套路，具有通法的特征。如例1，我们能看到它的巨大优势。学生用该法解题，可以引导自己举一反三，迅速形成应对该题型的做题技能，从而达到只做少量的题，就收到与大量做题相同甚至更好的效果。美国教师协会编写的《课程标准》对数学的定义是“数学是关于模式和秩序的科学”，所以他们强调把问题模式化和秩序化，最终归于机械(计算机)化。模型解法可谓与这一定义主张一脉相承。但是也要看到，模型解法因为“模式化”的倾向和特征，在实际中可能诱导学生养成只求“套用和模仿”的不好习惯，对于那些盲目做题的学生而言，更容易使他们解题时局限于某框框或固定在某模式之中，形成思维定势或惰性，思维变得僵化、单一、刻板、封闭。此外，模型解法对学生的知识结构要求较高，例如例2、3中，虽有一般公式可“套”用，但其推导的过程并非轻而易举，需要用到其它的知识和演算技巧，倘若学生对此不清楚、不理解，试问，他们还能深刻掌握并灵活应用吗？就像学习广播体操，分解动作都没有学会，能把整套体操做下来吗？何况，数学题型繁若星辰，模型解法也不能“通吃天下”，如一剂万灵仙丹。

毫无疑问，常规解法是一种思考最自然、思维最朴实、最直接的解法。它能反映问题的本质，触及数学思想方法，而且易于被学生理解消化、接受。实际上，大多学生解题时首先还是想到常规方法。即便是一题多解的“多”解，也无不是首先从常规解法开始。所以在教学中，教师宜首先加强常规解法的训练。特别是在学习的起始阶段，更该如此。我们很多学生学习很刻苦，几乎在用一种蚂蚁啃骨头的精神在做题，可是若把常规解法这个“根”丢了，解题能力的提升、成绩的提高将无从谈起；而只有切实加强训练，让常规解法内化在自己心灵，模型解法才有更好的应用价值和利用的空间，其优越性才会最佳体现，才能在学习和考试中如虎添翼。

2.3 适合学生的解法才是最优解法

无论是常规解法还是模型解法，都要贴近学生的实际，满足学生的需要，让学生感到适宜。比如例2，有的学生喜欢直接列举，因为在他们看来，用枚举法做起来直观、清楚，一目了然，而且具有发现、探索上的优点[6]。虽然方法看似“笨”，但解决问题非常轻松，容易下手，这才是硬道理。而有的同学喜欢建立模型直接用公式，这样，这些以经典问题为背景、原本很难的题目，就没有难度了。数学题目千变万化，有些题用常规解法可能显得不够精致简洁，或者思路不够直接流畅，学生解起来可能力不从心，所以这时对学生来说，常规解法并非最理想，而用模型解法则可以得心应手，顺利达到目的，自然是一种优化解法；反之，有些题目用模型解法，或背景深奥，或技巧奇妙，或过程花哨，显得罗嗦、复杂，而常规解法反而简洁明快，事半功倍，当然用常规解法更适合、更佳。就学生而论，由于生源不同，或由于能力倾向不同，认知结构不同、发展水平不同、兴趣爱好不同、学习习惯不同，对常规解法还是模型解法，出现“萝卜白菜，各有所爱”的情况是很正常的。例如，对于例3，调查发现大多数同学喜欢画树形图，而对所谓的模型解法没有兴趣，例2也是。而例1，几乎所有人采用的都是模型解法——隔板法，对于画树形图则没有考虑，这说明针对该题型的模型解法，学生已经了然于心。模型解法在一些学生眼里可能被视作高招，他们对此有更多偏爱，但在有些学生那里就可能“水土不服”，不感兴趣。同样对于常规解法，有些同学通常会优先加以考虑。学生是学习的主体，不同的学生对于不同的题型及相应的解法，他们将表现出不同的适应性和态度情感倾向，他们会对比，体会，甄选，反思。因此只有适合他们的，才是最优的解法；只有适合学生的解题教学才是最优化解题教学。

[1] 周斌，孙珊瑚. 从一道高考模拟题谈错位数的递推计算[J]. 数学通报，2009，48（7）：59-60.

[2] 蒋文彬. 题不在多联系则名，法不在全变化则灵[J]. 中学数学教学，2007 (1)：38-41.

[3] 王业和. 一类排列组合问题的方程解法[J]. 数学教学，2008(10)：32-33.

[4] 纪宏伟. 对一题多解教学的思考[J].中学数学月刊，2014(6)：32-34.

[5] 纪宏伟. 一题多解培养学生发散思维能力——以排列组合应用题为例[J]. 西藏教育，2014(3)：26-28.

[6] 纪宏伟. 探析排列组合中的枚举法[J].高中数理化，2014(14)：11-12.

江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师培养资助项目。