对“理想模型”掌握得不“理想”原因的探讨

陈 坤 印晓明

(江苏省南菁高级中学,江苏 江阴 214437)

1 问题的提出

建立模型是研究物理的常规思路.理想模型是各类模型当中最重要的一类,一般可分为理想对象模型、理想条件模型和理想过程模型.理想模型在教材中广泛存在,例如,质点、轻绳(杆)、理想气体,弹性碰撞等等.作为考察新热点的理想模型,常出现在高考,自主招生和物理奥赛中.从卷面来看,实际的教学效果似乎在印证一句谚语:“因为常见,所以漠视”,学生掌握得并不理想.可见,分析学生产生困难的原因,理解常见理想模型的特殊性质,对于培养学生的科学素养有现实意义.

2 各类型考试中理想模型示例

图1

题1.(2012年江苏卷第14题)某缓冲装置的理想模型如图1所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可以在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力恒为f.轻杆向右移动不超过l时,装置可安全工作,一个质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧,将导致轻杆向右移动l/4.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面的摩擦.为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度vm.

简析:本题重在考察“轻弹簧,轻杆”这种“轻质物体”理想模型.作为新热点,该模型在2011年江苏卷第9题也有涉及,得分率很低.学生错误的根源在于不了解“轻质物体”的特性:所受合力必为0,否则该物体的加速度会趋向无穷大.本题“轻弹簧,轻杆”系统受到的合力始终为0,所以无论小车是以v0还是以vm撞击弹簧,只要轻杆移动,弹簧产生的弹力均应等于f(kxm＝f),弹簧的形变量应保持在储存的弹性势能相同.由能量转换关系,

题2.(2010年“华约”自主招生第1题)在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的光滑斜面,其上有一质量为m的物块,如图2所示.物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为多大？

图2

图3

简析:本题最常见错误是学生错判模型,简单地认为这是最常见的“光滑斜面”模型,N＝mgcosθ.他忽视了斜面同时在向左加速.应该对物块和斜面分别使用牛顿第二定律.如图3.设物块对斜面的压力为N,物块m相对斜面的加速度为a1,设物块对斜面的压力为N,物块m相对斜面的加速度为a1,斜面的加速度为a2,方向向左;则物块m相对地面的加速度为ax＝a1cosθ—a2,ay＝a1sinθ.由牛顿第二定律:对m有 Nsinθ＝m(a1cosθ－a2),Ncosθ＝ma1sinθ;对M有 Nsinθ＝Ma2,则

图4

题3.(第26届全国物理奥林匹克复赛第2题)如图4,正方形轻质刚性水平桌面由4条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上.已知桌腿受力后将产生弹性微小形变.现于桌面中心点O至A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力F,令求桌面对桌腿1的压力F1.

简析:本题重在考察刚体这种模型的特性.关键是学生不理解“刚体不发生形变”的本质,即A、P、C3点始终在一条直线上,无法列出最有价值的一个方程

F1,F2,F3,F4为桌面对4个桌腿的压力(由于对称,F2＝F4).其余方程容易得到,由受力平衡可知

由力矩平衡可得

3 “理想模型”掌握得不“理想”的常见原因

3.1 不理解模型的本质是产生问题的根本原因

理想模型脱胎于常规物体,但做了简化与提炼,产生了一些异于常规物体的性质.这些性质如果没有特别关注,容易形成盲区,成为考试中重要的失分点.以出现频度较高的轻绳、轻杆和刚体为例.

(1)轻绳:不计质量,不考虑伸长的线状理想模型.其特点为:①轻绳上张力处处相等;②轻绳两端的质点沿轻绳方向速度分量相等;③在轻绳绷紧的瞬间,沿绳方向的速度出现减小,往往意味着系统机械能损耗.

(2)轻杆:不计质量,不考虑伸长的杆状理想模型.其特点为:①轻杆受到的合力必为0,否则其线加速度为＋∞;②轻杆受到的合力矩为0,否则其角加速度为＋∞;③由于其不计形变,故轻杆两端质点沿杆方向的速度分量相等.

(3)刚体:形状和大小不发生变化的理想模型.其特点为:①两接触物体在接触点法线方向上的速度相等;②刚体上所有质点之间的距离不变;③刚体上所有质点同时参与刚体的平动与转动,是平动与转动速度的合速度.

3.2 常见模型的思维定势会干扰对理想模型的理解

很多学生拿到题目之后会不由自主地搜寻以前训练过的模型,找到熟悉的解法,这是正常的心理认知过程.瑞士心理学家让·皮亚杰在其著作《发生认识论原理》中指出,当学生在面临新的问题和情景时,总是试图利用原有思维模式,也就是自己的思维定势去解决问题.如果成功,则获得认知上的平衡.如果不成功,便导致认知上的冲突也就是思维障碍.［1］但是,过强的思维定势有时会产生“副作用”,学生经常不注意比较旧模型或新题目的差异,或者无力辨别二者的差异,犯下方向性错误.

题4.如图5所示,玩具列车由许多节车厢组成,它以恒定速率沿水平轨道行驶进入“死圈”,列车全长为L,圈半径为R,(L＞2πR).问:列车应具有多大的初速度v0,才能确保不让一节车厢脱离轨道？

图5

图6

本题的关键在于在最高点速度的求法,学生很容易把它与图6的常规典型模型相混淆,认为在最高点速度至少为临界状态是支持力N＝0,故

图7

实际上列车并不能视为质点,取最高点极短的列车作为研究对象,除重力外还受到两侧车厢的拉力,如图7.

其中Δm＝R·Δθ·λ.由虚功原理可得T＝2Rλg.则v2＝3gR.由机械能守恒有

3.3 忽视理想模型的适用条件让人扼腕叹息

图8

学生在过度训练后易于产生思维定势,在做题的时候往往忽视理想模型的适用条件.

题5.(2011年浙江高考第16题)在铁芯上、下分别绕有匝数n1＝800和n2＝200的2个线圈,如图8上线圈两端u＝51sin314tV的交流电源相连,将下线圈两端接交流电压表,则交流电压表的读数可能是

(A)2.0V.(B)9.0V.

(C)12.7V.(D)144.0V.

学生忽略此题并未提及“理想铁芯”,应该存在“漏磁”,上下铁芯中的磁通量并不相等,但仍按照理想变压器的规律去处理,导致得分率极低,实际上答案只能为(A).

4 改善学习理想模型现状的思考

4.1 培养学生努力学会构建理想模型

理想模型既是学习内容,更是研究手段.引导学生理解“为什么要建立理想模型”和“如何建立理想模型”比重复训练各种模型的考题要重要得多.理想模型一般分为3类:理想条件模型,理想对象模型和理想过程模型.其中前2种模型容易理解,分别是条件理想化(忽略次要条件,抓住主要条件),实体理想化(对一般的实体模型进行抽象与简化).对于“理想过程模型”则要引起分外重视,因为物理学所研究的过程大都是理想化过程.学生在厘清过程,找到该过程对应的物理规律方面多有欠缺,需要着力改进.

培养学生建模能力,就是在努力提高学生的科研素养.这种能力培养虽然非朝夕可得,但必须认真引导,因为它对于学生掌握科学研究的思维方法,养成良好的思维品质具有重要作用.一般来说,建立理想模型的过程如图9所示.［2］

图9

4.2“一题多解”、“一题多问”可以避免思维定势,有效融合各模型优势

高中物理教学不可避免地会进行一定数量的习题训练,如果在训练过程中有意让学生一题多解,一题多问,可以有效改善思维定势,有效融合各模型优势.例如,“请设计一种测量电源电动势和内阻的方法”.大部分学生采用的是课本上提供的“伏安法”模型,如图10.我们可以继续设问:课本为何不采用图11的设计？在此基础上,提出第3问:如果没有电流表,你认为可以用什么仪器替换也能达到实验目的？第4问:如果没有电压表,你认为可以用什么仪器替换也能达到实验目的？引导学生画出图12,图13.提出第5问:请写出以上4种方法的实验原理.第6问:试分析这些模型产生误差的原因并指出各种测量模型对应的等效电源.

图10

图11

图12

图13

1 叶宝生.从让·皮亚杰的“适应”理论看中学生物理学习中思维定势的形成及其作用［N］.首都师范大学学报(社会科学版),2002.

2 胡炳元.物理课程与教学论［M］.杭州:浙江教育出版社,2003.