关于“线速度”定义的再讨论及教学建议

秦笑春 周 权

（南京市第一中学，江苏 南京 210001）

本刊于2009年曾刊出《“线速度”究竟应该怎样定义？》一文.［1］文中指出了人教版教科书中“线速度”定义存在的问题，给出了作者认为正确的“线速度”的定义方式.［2］然而，自该文刊出后的第2年，再版的人教版教科书中“线速度”概念的定义依然没有修改，笔者以为编者没有做相应的修改一定有着发人深思的原因.［3］其实人教版教科书“圆周运动”一节中线速度的定义方式，一直困扰着许多教师.很多教师也认为教科书中线速度的定义是不合理的，体现不了线速度的矢量性.笔者认为许多教师对自然坐标系不够熟悉，是误以为教科书出错的原因.

1 教科书中关于线速度概念的定义

人教版教科书对“线速度”的定义如下：

圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度.如图1所示，物体沿圆弧由M向N移动，某时刻t经过A点.为了描述物体经过A点附近时运动的快慢，可以取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内由A运动到B，通过的弧长为Δs.比值反映了物体运动的快慢，叫做线速度，用v表示，即

图1

线速度也有平均值和瞬时值之分.如果所取的时间间隔很小很小，这样得到的就是瞬时线速度.

乍看上去，教科书对“线速度”的定义确实让人困惑.Δs和Δt都是标量，按书中的定义得到的线速度应该是标量，但教科书在后面又提到“线速度是矢量”，如此一来教科书有自相矛盾之嫌.要搞清这个问题，我们要先来了解坐标系的选取对问题研究难易程度的影响.

图2

2 直角坐标系对圆周运动的描述

坐标系的选取是任意的，选取不同的坐标系对运动进行描述是等价的.但选取的坐标系不同会对问题研究的难易程度有很大的影响，因此建立的坐标系要能方便研究问题.下面先在直角坐标系下对圆周运动进行描述.

如图2所示，直角坐标系中圆周运动的运动学方程可以写成

3 自然坐标系对圆周运动的描述

图3

若运动轨迹f（x，y）＝0是已知的，也可以采用自然坐标来研究质点的运动.如图3所示，在轨迹上取一点O为原点，用由原点到质点位置的弧长s作为质点的位置坐标，称为自然坐标.自然坐标s不同于一般说明长度的弧长.根据原点及正方向的规定，s可正可负，质点的运动方程可以用s＝s（t）来描述.［4］在自然坐标下研究曲线运动时，速度 ＝只有切向分量，而没有法向分量，因而对速度方向的表述相对简单，往往无需再对速度方向做特殊说明.下面我们采用自然坐标系对圆周运动进行描述.

如图4所示，自然坐标系中圆周运动的运动学方程可以写成s＝s（t）＝Rθ（t）.

图4

加速度

对比直角坐标和自然坐标对圆周运动的描述，显然自然坐标系要简单得多，所以往往在自然坐标系下对圆周运动及其他曲线运动进行研究.

4 “线速度”教学建议

再来回头看教科书中对线速度的定义，就不难发现教科书正是在自然坐标系下对线速度进行定义的.但是由于高中学生不知道自然坐标系，所以“比值反映了物体运动的快慢，叫做线速度”这样的表述学生肯定不能理解.甚至一旦学生从速度是矢量的角度深究起来，教师将难以解释.对此，笔者建议实施以下教学.

师：现在老师用手摇自行车脚蹬，如果1s钟转1圈，后轮上某点平均速度是多少？如果2s钟转1圈，平均速度又是多少？

生：均为0.

师：很显然前面所学的平均速度不能反映做圆周运动物体的快慢.那如何描述物体在圆弧上运动的快慢呢？手摇自行车脚蹬时，自行车上的小齿轮和后轮上的质点都在做圆周运动，请同学们讨论小齿轮和后轮上的点谁运动得快？

生：通过讨论，得出：① 比较单位时间内通过的弧长.② 比较转过1圈所用的时间.③ 比较单位时间内质点和圆心连线转过的夹角.④ 比较1s钟内转过的圈数.

师：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度.单位时间内通过的弧长正是我们前面所学过的平均速率.如果物体沿着圆弧由M运动到N 点，某时刻t经过A点，为了描述物体在A点即时运动的快慢，该如何处理？

生：可以从此时刻开始，取一段很短时间Δt，物体在这段时间由A点运动到B点，用通过的弧长Δs与Δt的比值来反映物体在圆周上运动的快慢.

师：显然从A点向逆时针方向取B点和向顺时针方向取B点，质点运动的效果是不一样的，看来对于做圆周运动的物体来说方向也很重要.当Δt足够小时，圆弧AB几乎成了直线，弧AB的长度与线段AB的长度近乎相等，此时，物体由A点运动到B点的位移Δl的大小就是Δs.而位移Δl与Δt的比值是我们前面所学的哪个物理量？

生：速度.

师：这个速度其实就是我们在直线运动中学习的瞬时速度，只不过现在我们用它来描述圆周运动的快慢而已.在物理学上，用线速度来描述物体做圆周运动的快慢，线速度的大小就是比值，用v表示线速度，则

师：线速度的方向是怎样的呢？

生：圆周的切线方向.

在直线运动中，学生已经知道速度是描述物体运动快慢的物理量，应该通过实验让学生认识到平均速度不能描述做圆周运动物体的运动快慢.再让学生讨论如何比较圆周运动的快慢，引出描述圆周运动快慢的4个物理量（v，ω，T，n）.许多教师在讲解线速度概念的时候会刻意地回避弧长与时间的比值是平均速率，笔者以为这是没有必要的.弧长与时间的比值的确是前面所学的平均速率.不如采用由平均速率过渡到瞬时速率，进而过渡到瞬时速度的方法.这样的教学过程既让学生体会到弧长与时间的比值是描述圆周运动快慢的方法之一，又不至于让学生感觉概念出错.此外，笔者建议教科书删去“线速度也有瞬时值和平均值之分”，因为在学生没有了解自然坐标系之前，不能理解平均线速度，况且对于匀速圆周运动线速度大小处处相等，对于中学阶段所研究的变速圆周运动也仅仅讨论瞬时速度.所以将这句话删去，不仅不影响后面知识的学习，还能降低学生理解的难度，可谓一举两得.

1 晓建.“线速度”究竟应该怎样定义？［J］.物理教师，2009（7）.

2 人民教育出版社编著.普通高中课程标准实验教科书·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2004（5）.

3 人民教育出版社编著.普通高中课程标准实验教科书·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2010（4）.

4 漆安慎，杜婵英.普通物理教程·力学［M］.北京：高等教育出版社，1997.