浅谈中学数学中的构造法解题

刘小利

一、问题的提出

G·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。G·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。

构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。

构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。

二、中学数学中常见的构造解题

用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。本文着重介绍以下几种：

（一）构造辅助数与式

不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。

（二）构造辅助函数

求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。即：通过构造辅助函数，把对原问题的研究转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性去解决辅助函数的问题。

例2.已知a>b>0，m>0，求证

（三）构造辅助方程

方程作为中学数学的重要内容，它与数式、函数等诸多知识有着密切联系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.

证明：构造以x-y，y-z为根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有两个相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差数列.

（四）构造几何图形

华罗庚曾说：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数、几何的关系，实现难题巧解。

例4.求函数y=的最值.

证明：如下图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即：动点为切点时直线斜率分别为最大最小值，设切点分别为R、M，易知：

模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。在解题过程中，若按定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己的思维，运用构造法解题。运用构造法来解题，对提高学生的解题能力也有所帮助，更重要的是，构造法是培养学生创新意识和创新思维的手段之一，在解题过程中能够使学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思维的创新。

“探索是数学的生命线。”构造法的实质是探究、创新，是对所学知识的深化和转换。通过将原问题设计成新问题，拓宽学生解题思路，激发学生思维的火花。解决新问题反演原问题，提高学生解题能力，增强学生的自信心理，促进学生自主学习的意识、能力。整个构造过程也是体验数学、享受数学的过程，这也体现了目前教学改革的要求。

参考文献：

[1]G·波利亚.怎样解题[M].秦璋，译.北京：科学出版社，1982.

[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨工业大学出版社，2002.

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.

[4]张静莲.数学教学创新说（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者单位 山西省长治市沁源县第一中学）

编辑 杨 倩

一、问题的提出

G·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。G·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。

构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。

构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。

二、中学数学中常见的构造解题

用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。本文着重介绍以下几种：

（一）构造辅助数与式

不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。

（二）构造辅助函数

求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。即：通过构造辅助函数，把对原问题的研究转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性去解决辅助函数的问题。

例2.已知a>b>0，m>0，求证

（三）构造辅助方程

方程作为中学数学的重要内容，它与数式、函数等诸多知识有着密切联系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.

证明：构造以x-y，y-z为根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有两个相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差数列.

（四）构造几何图形

华罗庚曾说：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数、几何的关系，实现难题巧解。

例4.求函数y=的最值.

证明：如下图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即：动点为切点时直线斜率分别为最大最小值，设切点分别为R、M，易知：

模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。在解题过程中，若按定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己的思维，运用构造法解题。运用构造法来解题，对提高学生的解题能力也有所帮助，更重要的是，构造法是培养学生创新意识和创新思维的手段之一，在解题过程中能够使学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思维的创新。

“探索是数学的生命线。”构造法的实质是探究、创新，是对所学知识的深化和转换。通过将原问题设计成新问题，拓宽学生解题思路，激发学生思维的火花。解决新问题反演原问题，提高学生解题能力，增强学生的自信心理，促进学生自主学习的意识、能力。整个构造过程也是体验数学、享受数学的过程，这也体现了目前教学改革的要求。

参考文献：

[1]G·波利亚.怎样解题[M].秦璋，译.北京：科学出版社，1982.

[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨工业大学出版社，2002.

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.

[4]张静莲.数学教学创新说（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者单位 山西省长治市沁源县第一中学）

编辑 杨 倩

一、问题的提出

G·波利亚有一句名言“掌握数学就意味着善于解题”。解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来解决问题却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，就要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。G·波利亚在他的《怎样解题》中给出了“怎样解题”表，其中第二步是拟定计划，“找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。”运用辅助性数学模式，这也正是我们用构造法解决问题的思路。

构造法的特点：构造新的数学对象过程直观，有很大灵活性。

构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。构造法解决问题的活动是一种创造性的思维活动，关键是借助对问题特征的敏锐观察展开丰富的联想，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化。

二、中学数学中常见的构造解题

用构造法解题时，因被构造的对象是多种多样的，可按它的内容分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、数学模型、算法等类别。本文着重介绍以下几种：

（一）构造辅助数与式

不等式证明题通常需要构造一个不等式，从它出发进行推理进而获得解决。

（二）构造辅助函数

求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想、组合出一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转换。即：通过构造辅助函数，把对原问题的研究转化为研究辅助函数的性质，并利用函数的单调性、有界性、奇偶性去解决辅助函数的问题。

例2.已知a>b>0，m>0，求证

（三）构造辅助方程

方程作为中学数学的重要内容，它与数式、函数等诸多知识有着密切联系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x，y，z成等差数列.

证明：构造以x-y，y-z为根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有两个相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差数列.

（四）构造几何图形

华罗庚曾说：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数、几何的关系，实现难题巧解。

例4.求函数y=的最值.

证明：如下图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即：动点为切点时直线斜率分别为最大最小值，设切点分别为R、M，易知：

模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。在解题过程中，若按定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己的思维，运用构造法解题。运用构造法来解题，对提高学生的解题能力也有所帮助，更重要的是，构造法是培养学生创新意识和创新思维的手段之一，在解题过程中能够使学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思维的创新。

“探索是数学的生命线。”构造法的实质是探究、创新，是对所学知识的深化和转换。通过将原问题设计成新问题，拓宽学生解题思路，激发学生思维的火花。解决新问题反演原问题，提高学生解题能力，增强学生的自信心理，促进学生自主学习的意识、能力。整个构造过程也是体验数学、享受数学的过程，这也体现了目前教学改革的要求。

参考文献：

[1]G·波利亚.怎样解题[M].秦璋，译.北京：科学出版社，1982.

[2]鲍曼.中学数学方法论[M].哈尔滨工业大学出版社，2002.

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.

[4]张静莲.数学教学创新说（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者单位 山西省长治市沁源县第一中学）

编辑 杨 倩