浅谈频率和概率的关系

周颜萍

在学习的过程中，同学们对于概率知识并不陌生，因为我们从小学就开始体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，并能计算一些简单事件发生的可能性. 进入初中以后，我们在具体情景中开始了解概率的意义，初步了解频率与概率的关系. 但是多数同学只记住了用列举法求随机事件的概率，甚至相当一部分同学认为随机事件都是等可能事件，以为解决概率问题都可以套公式计算. 另外，同学们往往只知道用随机事件发生的频率估算概率，并不清楚频率和概率之间的区别. 下面我们就一起来看看频率和概率之间到底有什么关系吧！

在多次随机试验中，随着试验次数的增加，如果事件A出现的频率稳定于某个常数q，并且0≤q≤1，则在数学上我们定义事件A的概率为 p，记作P（A）=q，称之为概率的统计定义. 概率的统计定义提供了一个具体值，并且在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这是概率统计定义最有价值的地方. 由于教材的限制以及初中生的认知水平等原因，理解概率的统计定义是一个难点，如下问题很值得我们探究：①定义中说到的存在“某个常数”到底是一个怎样的数？②能够求出这个常数吗？③既然存在着这个常数，为什么又要求这个常数的近似值呢？④定义中的“稳定于”该怎样去理解呢？

要解决上述问题，首先必须了解概率的统计定义的基本内容和其中的一些关键词语，充分理解概率的统计概念的内涵.

1. 频率稳定于概率是对大量的试验而言的

概率论里研究的随机试验，可以在相同条件下重复进行，如果某个试验只能进行一次，那么某一事件A要么肯定会发生，要么就不会不发生，在这样的条件下得出的结果根本无随机性可言，更谈不上发生的可能性的大小了. 事实上，频率稳定于概率这个结论是针对大量的试验而言的. 如果在试验次数不多的前提下，用频率来估计概率是不太合适的. 例如，只做了10次抛掷均匀硬币的试验，其中有7次正面朝上，就认为正面朝上的概率大约为0.7，其误差就较大了，所以频率稳定于概率是对大量的实验而言的.

2. 频率与概率既有密切的联系，又有本质的区别

由于概率是通过大量重复试验统计的，所以在利用概率思想进行决策时，会产生理解上的困难. 因此，只有深刻理解概率与频率的关系以及概率与频率的本质区别，才能正确理解概率的意义.

（1） 概率是随机事件的本质属性，完全决定于事件的本身，是先于试验而客观存在的，它不会随着试验次数的增加而发生变化. 如抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关.

（2） 频率是个随机变化的数值，在开始试验之前是不能确定的，事件发生的频率反映在n次重复试验中，试验结果和总的试验次数n有关，即重复试验的总次数n不同，结果（频率）可能不同，而且即使重复试验的次数n相同，事件出现的次数k也可能不同，结果（频率）也就可能不同. 频率是一个随着试验次数的增加可能发生变化的统计量.

（3） 在大量的重复试验中，事件发生的频率会趋近于概率. 在实际问题中，通常在某随机事件概率未知的前提下，我们正是通过多次重复试验，求得随机事件的频率，并用它来估计随机事件发生的概率.

（4） 事件发生的频率客观上能够体现事件概率的含义，即在多次重复试验中，一个事件发生的频率越大，说明在一次试验中该事件发生的可能性越大； 如果重复试验中事件发生的频率越小，说明该事件再一次试验发生的可能性越小. 反过来，事件发生的概率也应该体现在事件的频率上，即事件的概率越大，在重复试验中，该事件发生得越频繁，频率也越大； 同样如果事件A的概率较小，它在重复试验中的频率也较小. 这说明概率的现实意义是可以用频率来解释的，它能帮助人们做出合理的决策，但这并不意味着可以用频率来代替概率.

（5） 尽管某个事件发生的概率较大，也就是说该事件发生的可能性较大，但是，在一次或几次试验中该事件也可能不发生. 同样，尽管某个事件的概率较小，但是在一次试验中该事件也可能发生. 这正是事件的随机性与概率的确定性的区别. 概率只是一种理论上的推断事件发生可能性的大小，并不是真实发生的结果，如在购买彩票的过程中，购买一张彩票中特等奖的概率很小，但不意味着就一定不会中奖.

3. “稳定于”的实际意义

频率“靠近”概率是可以直接观察到的一种客观现象，而通过实践又可以证实，概率很接近1的事件在一次试验中几乎一定会发生，这就是为什么可以“用频率估计概率”的理由.

4. 定义中的“常数”本质是一种理论上的推断

概率实际上是频率的科学抽象. 在概率的统计定义中，只说到存在“某个常数”，并没有说到如何求这个常数，即求概率值. 无论是谁去抛一枚均匀的硬币，在试验次数很大时，正面朝上的频率，都会在常数0.5附近摆动. 在大量的实验结果中，正面朝上和反面朝上的比例约为1∶1，古今中外的多次随机实验的结果中，这一比值大致相同，这个结果是不会以人的意志为转移的. 这些事实让我们相信，事件发生的概率是客观存在的. 但无论是根据概率的统计定义或公理化定义，我们都是在承认事件发生的概率是客观存在的前提下进行的. 因此，随机事件的概率本质上是以大量随机试验为基础，然后在此基础上的一种理论上的推断，也就是说概率实际是频率在理论上的一种期望值，这个理论上的期望值，严格来说是无法通过具体试验精确地确定的，即使重复试验的次数再多也不能做到，因此我们只能由此粗略地确定一个近似值. 当然，当试验次数很大时，我们可以得到比较接近准确值的“近似值”，而在实践中，较高精度的近似值可以帮助我们来进行判断和分析.

5. 实验次数越多，频率就会越接近概率的说法不一定正确

用频率估计概率，有人认为“试验次数越多，用频率估计概率就越准确”. 这样的叙述严密吗？极端特例： 掷一枚硬币两次，得到正面朝上的频率为0.5，而掷1 000次硬币，理论上仍有可能得到频率为1. 说明“试验次数越大，估计就越准确”，这样的表述不严密.

随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验中呈现出的固有规律，我们称之为随机现象的统计规律. 因而在一般情形下，观察与试验是认识随机现象和发现与解决概率问题的一种有效方法.

（作者单位：江苏省常州钟楼实验中学）