3s／2r变换及其逆变换的研究

王 龙，任思敏，付周兴，李 忠

（西安科技大学 电气与控制工程学院，陕西 西安 710054）

0 引言

日常生活中最常用的电机是交流电机，但交流电机的数学模型和控制模型较直流电机的复杂，如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模型，分析和控制就可以大大简化，坐标变换由此而来。Park变换和Clarke变换为交流电机分析计算时的基本变换，在此坐标变换基础上，3s／2r变换则是三相对称静止坐标系（a，b，c）到两相同步旋转坐标系（d，q）的变换，以（d，q）坐标系为参照，坐标系（a，b，c）产生的旋转矢量同坐标系（d，q）同步旋转，其在d轴和q轴上的分量不变。定子的电感矩阵被对角化和常数化，从而使定子的磁链方程解耦［1］，这样大大简化了发电机、电动机电磁关系的微分方程，因此3s／2r变换在整个电力系统分析和计算中具有重要的理论和实际意义。但许多文献都只涉及了其变换系数的推导，没有从数学角度进一步分析三相交流变量和直流分量之间的关系，本文从数学角度分析了两者之间的关系。

1 3s／2r变换及其逆变换

Clarke变换是三相对称静止坐标系（a，b，c）到两相静止坐标系（D，Q）的变换，而Park变换是将两相静止坐标系（D，Q）转换到与电网基波频率同步旋转的（d，q）坐标系，Clarke变换矩阵M和Park变换矩阵C如下所示［2，3］：

其中：θ为交流电机定子与转子之间的夹角。从矩阵的角度分析，3s／2r变换矩阵为R＝CM，其变换优点在于将三相静止坐标系中随时间变化的交流变量经变换矩阵R变换成两相旋转坐标系中的直流分量。

图1为3s／2r坐标关系及矢量分解图。图1中，q轴分量表示有功分量，d轴分量表示无功分量，且d轴滞后q轴90°；θ为q轴与a轴的夹角，亦即交流电机定子与转子之间的夹角，φ为V与q轴的夹角，V为三相静止坐标系交流变量在复平面内的矢量和，其表达式为：

图1 3s／2r坐标关系及矢量分解

由图1可以看出，q轴、d轴和矢量V都以转速ω逆时针旋转，V在q轴和d轴的分量vq和vd长短不变。

设Vm为三相交流变量的幅值，若三相坐标系的三个交流变量为：

则vd，vq分量与三相交流变量va，vb，vc的关系式为：

化简得：

为简化分析，初始时刻令q轴与a轴重合，则θ＝ωt，由公式（6）可以看出，φ的值决定vd和vq的值。当φ一定时，vq和vd的值保持不变；当φ＝0°时，V 与q轴重合，vq＝Vm，vd＝0，此时经过变换后系统的无功为0，有功达到最大。

在电力系统的分析中，有时需要系统的无功为0，有功达到最大，以便提高功率因数。为防止三相交流变量出现波动，造成vq和vd的值改变，可以在系统中加入锁相环，使q轴和矢量V无相位差同频旋转，达到无功为0。

相反地，由两相同步旋转坐标系（d，q）到三相静止坐标系（a，b，c）的变换可称之为逆变换，其关系式为：

根据图1的坐标关系，有：

由此可见，vq和vd的值不仅决定了三相交流变量的幅值，也决定了三相交流变量的初相角。

2 仿真

为验证以上分析的正确性，搭建MATLAB仿真模型［4，5］，三相交流变量的幅值Vm为1 V，由公式（6）可知三相交流变量的初相角对d－q轴的直流分量有着影响，图2是不同初相角下d－q直流分量的值。

图2 不同初相角下d－q分量

从图2中可以可以看出，不论初相角为多少，vq和vd的值始终为直流量，伴随着初相角的改变，vq和vd的值是不同的。

图3是图2中经过PLL锁相环后的d－q分量。

从图3可以看出，不同φ值下，只要加入了PLL锁相环，就能时刻保持矢量V和q轴同相位旋转，同时也可以发现，PLL锁相的本质就是使θ始终与va的相角相等，即θ＝ωt＋φ。

为了分析3s／2r逆变换中vq和vd的值对三相交流变量的影响，分别给定不同vq和vd的值观察经过逆变换后输出的三相交流变量的波形，如图4所示。

从图4中可以看出，不论vq和vd的值是多少，a相交流变量在初始时刻的值都等于vq的值，三相交流变量的初相角和幅值分别为：

图3 不同初相角下经过PLL后的d－q分量

3 结论

3s／2r变换广泛应用在电力行业中，它不单使用在交流电机分析中，还可以在电力控制系统中加以应用。不同的控制系统所要求的直流分量也不同，通过以上分析可知，对于初相角不同的三相交流变量可以利用3s／2r公式算出相应vq和vd的值。由3s／2r逆变换分析可知，vq和vd的值不仅决定了三相交流变量的幅值，同时也决定三相交流变量的初相角。在控制系统中通常给定vq和vd的值，然后利用3s／2r逆变化公式，通过PI调节最终得到所需的三相交流变量。

图4 不同直流分量值经逆变换后的三相交流波形

［1］ 汤蕴璆.Park变换和同步电机的解耦［J］.哈尔滨电工学院学报，1989，12（3）：205－212.

［2］ 张崇魏，张兴.PWM整流器及其控制［M］.北京：机械工业出版社，2003.

［3］ 但扬清，刘文颖，朱艳伟.瞬时无功理论变换矩阵系数推导及α－β与dq0变换关系分析［J］.电力科学与工程，2011，27（5）：16－19.

［4］ 王赛爽，候永辉.基于 MATLAB实现电力系统派克变换的仿真［J］.中国高新技术企业，2012（5）：110－112.

［5］ 黄乐，聂一雄.关于单相dq0变换法在仿真应用中的问题与分析探讨［J］.黑龙江科技信息，2012（12）：37－38.