构造法在解初中数学竞赛题中的运用

刘海英

构造法是一种灵活多变的运用数学的基本思想和解题方法，它没有固定的模式可以套用。在解题过程中，如果学生按照定向思维解决问题却解决不了，而构造法能够帮助学生经过认真的观察、深入的思考后，构造出解题的数学模型，并最终解决问题。

一、构造法解题的原则

学习数学不仅要求会解题，还要善于解题，而且在运用构造法解题时要遵循一定的原则。

1.相似性原则

相似性原则是指认真观察数学问题的条件，进行联想，然后判断该问题是否和我们已解决过的，或者熟知的式子一致，通过构造出的数学模型对间接解决问题。

2.直观性原则

指的是构造某种使条件和结论的数学关系清晰体现的数学形式。

3.等价性原则

指的是一种将所构造对象满足的条件转换为一种和它同等的新的表现形式，从而使所需要的构造在新条件下进行。

二、解初中数学竞赛题的构造方法研究

1.构造方程式

有些数学题可以通过构造一个方程得到简便的解题方法。

例1已知两数a、b，ab≠1且2a2+1234567890·a+3=0，3b2+1234567890·b+2=0，则a2-ab+b21a2+ab+b2的值为。

解析：所求代数式的分子、分母都由a2，b2，ab组成，且a、b都不为0，我们将所求的代数式的分子、分母同时除以ab就变成了a1b-1+b1a1a1b+1+b1a，只与b1a、a1b有关。因此可以根据条件直接求出b1a或a1b的值.

另外，两个已知等式在形式上相似，只在二次项系数和常数项上互换了位置，且系数均为3、1234567890和2，所以在第二个方程式两边同时除以b2（b≠0），第二个等式也就成了211b2+1234567890·11b+3=0。那么这个式子在形式上就跟第一个式子相一致。由此可以联想出利用根的定义构造出一个关于x的一元二次方程2x2+1234567890·x+3=0，a，11b是这个方程的两个实根，且ab≠1，所以根据韦达定理可知a·11b=312，将这个值代入所求代数式的变形式即可求出答案。

2.构造代数式

某些与整数有关的整除数学竞赛题例如代数式的化简、求值等都很难从固定思维中找到解题方法，但构造多项式、有理化式、递推式等方式推出熟悉常用的数学式就可以解决难题了。

例2整数a、b、c的和是6的倍数.那么，它们的立方和被6除，得到的余数是（）.

A.0B.2C.3D.不确定的

解析：根据a、b、c三数之和是6的倍数，而想要直接得出a3+b3+c3被6除的余数则难以下手，那么可以从两者的差入手，构造

（a3+b3+c3）-（a+b+c）=（a3-a）+（b3-b）+（c3-c）=a（a-1）（a+1）+b（b-1）（b+1）+c（c-1）（c+1），从而将问题转化。

因为a是整数，所以a-1，a，a+1是三个连续整数，所以a（a-1）（a+1）是2×3的倍数。

同理可得，b（b-1）（b+1）和c（c-1）（c+1）也是6的倍数，已知a+b+c是6的倍数，所以a3+b3+c3是6的倍数。因此答案为A。

3.构造几何图形

对于一些题目，我们可以通过构造所需要的图形并借助几何图形的性质来解题。

例3已知a、b、x、y为正实数，且a2+b2=1，x2+y2=1。求证ax+by≤1。

解析：遇到这样的题目，很多学生无从下手，这里只有等式，没有其他条件，仔细观察就能发现，题目的未知量相加的等式结果都为常数1，那么我们可以从它们之间的关联入手，构造出相关图形。

如图，作以AB=1为直径的⊙O，在AB两侧任意作Rt△ABC和Rt△ADB使得AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。

由勾股定理可知a、b、x、y满足题设条件，根据根据托勒密定理可得AC·BD+BC·AD=AB·CD.又CD≤AB=1，故ax+by≤1.

总之，教师应该充分利用构造法帮助学生解决初中数学竞赛题，给学生提供简便易懂的解题思路，让学生的智力和思维都能得到锻炼。