如何实现“平几”到“立几”的思维飞跃

曹金明

立体几何是研究空间图形的一门学科，要实现从平面几何到立体几何的思维飞跃与提升，需要在变化之中学习立体几何.

一、注重概念的变化

对于平面几何中的概念，在立体几何中有些是适用的，有些不再适用，但需要重新加以定义才可适用.在平面几何中有两直线平行和垂直等表示位置关系的概念.在立体几何中，要研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，当然要研究两条直线所成的角、平行、垂直等关系.这些都是平面几何中的概念在空间的拓广.

平面几何中角的定义是“由一点出发的两条射线组成的图形”，并以此为基础引出两条相交直线所成的角.在立体几何中根据“平行公理”和“等角定理”，又引出两条异面直线所成角的定义：由分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.这样就将平面的角拓广为空间两条异面直线所成的角.这个角的定义也为求两条异面直线所成的角提供了思路，即通过将两条异面直线平移，转化成求同一平面内两条相交直线所成的角.

同样，斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角，这是一种利用射影将空间问题转化成平面问题的方法.二面角的概念可以看成是平面几何中角的概念的推广： 平面几何中角的定义是“由一点出发的两条射线组成的图形”，而立体几何中二面角的定义是“从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形”.二面角可以由它的平面角来度量，这样根据平面角的三要素，就将空间问题转化成了平面问题.

在直线、平面位置关系的表述方面在平面几何和立体几何中既有完全不同的表述，又有在原来的基础上相对统一又有些变化的表述.在平面几何中的“垂直”与立体几何中的“垂直”有所不同，平面几何中的“垂直”表明两条直线一定是相交的，而立体几何中的“垂直”所涉及的两条直线不一定“相交”，即两条直线垂直仅保留了所成角的特点，这就给空间两条垂直的直线以更大的自由度.在平面几何中两直线平行的定义是“在同一平面内没有公共点的两条直线平行”，在立体几何中直线与平面平行，两个平面平行都是用“没有公共点”来定义的，从概念的定义中不难看出它们的区别与联系.

二、注重定理的变化

在平面几何中的有些定理，在立体几何中仍然适用，有的还可以推广.

例如，在平面几何中的定理“平行于同一条直线的两条直线平行”在立体几何中仍然适用，而且还可以推广，如“平行于同一平面的两个平面平行”；“角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等”，可以推广成“过二面角的棱作一个半平面将此二面角分成两个相等的二面角（此半平面称为此二面角的平分面），在这个半平面上的任意一点到二面角的两个面的距离相等”.

在平面几何中的有些定理，在立体几何中却不能适用.

例如，定理“垂直于同一条直线的两条直线平行”，在空间就不再成立，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，可能相交，也可能是异面直线.

三、注重方法的变化

一个平面问题往往可以拓广成一个空间问题.反之，有些空间问题，往往由一个对应的平面问题与它有相同（或相似）的形式与结构，解决这一平面问题的方法往往对解决相应的空间问题有很大的提示作用.这就是解决空间问题的类比方法.

另外，在平面几何中处理问题的有些方法，在立体几何中仍然适用.如平面几何中求三角形内切圆半径的方法：设DABC的面积为S，三边分别为a，b，c，内切圆半径为r，圆心为O，其证明方法是将点O与三角形顶点连接起来，利用三个小三角形面积之和为定值（原三角形的面积），可以求出三角形内切圆半径r=2Sl（其中l是三角形的周长）.

类似地，在立体几何中求四面体内切球半径时，也可以将内切球的球心与与四面体各顶点连接起来，则原四面体分为四个小四面体，利用四个小四面体的体积之和为定值（原四面体的体积），可以求出四面体内切球的半径r=3VS（其中V，S分别是四面体的体积和表面积）.

当然，利用向量的方法解决立体几何中的“关系问题”和“度量问题”是一种重要而实用的方法.

在学习立体几何时除了要注重概念的变化、定理的变化、方法的变化外，研究直线和平面的关系和性质时，应该以“运动”思路来探究.即在满足某些约束条件的情况下，让直线和平面运动起来，可以保持平面不动，让直线旋转或平移，也可以保持直线不动，让平面旋转或平移.通过这种运动，可以构成千万个活动着的图形，这样，对于深入理解概念及判断一些命题是否正确，是大有好处的.