三角函数中常见错误归类探究

周芷凡

【摘要】 三角函数是三角学中非常重要的一部分，也是高中数学学习中非常重要的一个知识.虽然在高中数学中对三角函数的学习要求并不高，但是我们学习起来也常常会有一些错误出现.本文将三角函数中的常见错误归为知识性、逻辑性和策略性错误三种，并对其举例探究，最终尝试总结出一些应对的策略，希望能为以后的三角函数学习提供借鉴和帮助.

【关键词】 三角函数；知识性错误；逻辑性错误；策略性错误；应对策略

三角学起源于古希腊，在中国距今两千多年前的《周髀算经》中也有关于我国最早的三角测量的记载.三角函数是三角学中非常基础的、非常重要的一部分.在高中数学中，对三角函数的学习主要是三角函数的图像和性质.虽然在高中数学中对三角函数的学习要求并不高，但是我们学习起来也常常会有一些错误出现.本文将把这些三角函数中常见的错误归类出来，加以详细的探究，希望能为以后的三角函数学习提供借鉴和帮助.

一、知识性错误

数学中的知识性错误是指由于对有关所学的概念理解不清，对概念、性质混淆不清等，从而导致的错误.

（一）概念理解不清

致错分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域，因为函数f（x）的定义域为x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、逻辑性错误

由于我们认知结构的不完善，所以在数学解题中就很容易出现逻辑性的错误.逻辑性错误指的是我们在解题的过程中由于违背了逻辑思维的规律而产生的错误.逻辑思维的规律，即逻辑规律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常见的逻辑性错误的类别一般为循环论证、偷换概念、虚假理由、分类不当和不等价变换这五种.在高中数学三角函数的学习中，一般会出现的逻辑性错误有分类不当、循环论证和不等价变换这三种.

（一）循环论证

论题、论据和论证是构成任何数学问题的三大要素，其中论题指的是为了真实性而需要的那个命题，论据指的是为了证明论题的真实性所需要依据的真命题，论证指的是联系起了论题和论据的具体的推理形式.只有真实的论据才能论证出论题的真假，但是论据的真实性不能不依赖于论题的真实.循环论证指的就是论据的真实性需要依赖论题的真实性的一种论证.

致错分析 上述解法看上去好像是正确的，其实已经犯了循环论证的错误，错在没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，产生了增根.

事实上，同理可得：.

（二）不等价变换

不等价变换是属于逻辑错误中的违反同一律原则的错误.在解题过程中，对命题进行不等价的变换，常常会出现解集的缩小或者是扩大.

三、策略性错误

在数学解题过程中的策略性错误主要指的是在解题方向上有偏差.这样的错误往往会导致解题的思路受阻而无法完成解题过程，或者解题思路过于曲折而即使做对了也非常费时费力.

（一）不善于正难则反

我们在解题的过程中一般都会习惯于从正面去思考问题，而并不去做反面的思考.但是有时候从正面来解决一个问题是非常艰难或者复杂的，甚至常常会容易出错.这就要求我们在解题的时候要灵活运用方法，当正面解题比较艰难的时候可以从反面进行思考.

例5 函数y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

错解 将原函数变形为：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，则y=（t-a）2+a，当t=a时，ymin=a，∴a=3.

致错分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性，三角函数的定义域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，当a=3时，t=3，即sinx =3显然不符合题意.事实上，换元后，问题转化为二次函数y=f（t）=（t-a）2+a在闭区间[-1，1]上的最小值问题.

正解 （1）当a<-1时，由ymin=f（-1）=3，得a= -3- 17 2 ；

（2）当-1≤a≤1时，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合题意，舍去；

（3）当a>1时，由ymin=f（1）=3，得a=2.

综合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）审题出现主观臆断

主观臆断其实一般都是由我们心理上的误区引起的.有时候我们虽然掌握了所有的知识点和答题技巧，但是这 样的心理误区对我们产生的影响却往往是致命的.所以要消除主观臆断这种策略上的错误，我们首先要消除的就是这种心理上的障碍.

四、对应策略

上述总结的问题都是我们在进行三角函数的学习和解题过程中，容易出现的错误，因而这些错误往往都是具有可借鉴意义的.