基于Copula函数的沪深股市尾部相关性分析

姜凤利

[摘 要] 利用Granger因果检验考察上证指数与深证指数之间的联动特性，发现上证指数是深证指数的Granger原因。由于上证、深证指数之间的尾部非对称性，Frank Copula函数无法准确拟合数据分布，进而通过选择Archimedean Copula函数族中Gumbel Copula函数和Clayton Copula函数分别度量美国次贷危机前后上证、深证指数之间的尾部相关性。实证结果表明，上涨期和下跌期上证、深证指数之间分别具有较强的上尾和下尾相关性。但相比较而言，下跌期尾部相关系数大于上涨期尾部相关系数。

[关键词] Granger因果检验；Copula函数；尾部相关性

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 18. 056

[中图分类号] F832.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）18- 0087- 04

1 引 言

近年来，随着金融市场的不断发展，金融市场内部的相关关系越来越复杂，这也使得对于市场间的相关性研究成为金融市场相关关系量化分析的一个重要问题。但由于金融数据往往不满足线性相关性和正态分布等常规假设，如（Rosenberg & Schuermann，2006）实证分析发现，金融风险数据并不服从正态分布；Di Clemente & Romano（2004）和Das & Geng（2006）研究发现，信用风险尾部相关性是非对称的、有偏的。因此传统的多元分布函数理论很难在分析金融市场的相关性中得到广泛应用。90年代后期Frees & Valdez（1998）开创性地把Copula函数引入到金融风险管理领域中，由于Copula函数可以较好地刻画变量之间的非线性、非对称性和尾部特性等优点而得到广泛应用。大量研究者正是基于Copula理论这一有力工具，取得了许多有意义的研究成果。如Andrew.J.P（2002）提出了条件Copula函数，并利用其分析研究了汇率之间的非对称性相关结构；Helder和Luiz（2006）利用动态条件Copula函数研究了金融资产之间的相关结构；国内学者结合国内金融实际情况对Copula函数也进行了许多有意义的研究。如余平 等（2007）利用Clayton Copula函数度量了上证综指和深圳成指尾部相关性；于波 等（2008）利用Gumbel Copula函数对上证A股指数和B股指数进行了相关性分析；任仙玲 等（2008）应用双参数非对称BBx-Copula函数对民生银行和浦发银行的尾部相关性进行实证分析。但是我国金融市场内部相关结构如何，市场间的相关结构应该利用哪种适当的Copula函数来度量，目前还没有统一的结论。

本文以沪深两市日收益率为样本数据，考察上证指数与深证指数之间的联动性，并利用Copula函数分别对美国次贷危机发生前后的沪深两个市场指数之间的尾部相关性进行实证分析。

2 Copula函数及相关理论

Copula函数理论的提出为研究变量之间的相关性提供了很好的方法。Sklar（1959）指出可以将一个n维联合分布分解为n个边缘分布函数和一个Copula函数，而这个Copula函数描述了变量之间的相关性。

2.1 Copula函数基本理论

假设F（x1，x2，…，xn）为具有边缘分布F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）的n维联合分布函数，则存在一个Copula函数C（u1，u2，…，un）满足：

F（x1，x2，…，xn）=C[F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）]（1）

若F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）是连续函数，则C（u1，u2，…，un）是唯一确定的；反之，若F1（x1），F2（x2），…，Fn（xn）为一元分布函数，C（u1，u2，…，un）是一个Copula函数，则由式（1）确定的F（x1，x2，…，xn）是具有边缘分布F1（x1），F（x2），…，Fn（xn）的n维联合分布函数。

2.2 Copula函数分布族

在金融市场研究中常用的Copula函数族包括Elliptical Copula分布族和Archimedean Copula分布族。但由于Elliptical Copula分布族具有尾部径向对称性，因此在描述金融数据之间的非对称性具有一定的局限性；Archimedean Copula分布族则可以较好刻画尾部特性且计算简单得到了广泛应用。Archimedean Copula分布族包含Gumbel、Clayton和Frank Copula函数。

2.2.1 Gumbel Copula函数

Gumbel Copula函数的生成元和分布函数分别为：

?（t）=（-ln t）α（2）

CG（u，v；α）=exp-（-ln u

）+（-ln v

）

（3）

式中，α∈（0，1]为相关参数。当α=1时，随机变量u，v，独立；当α→0时，随机变量u，v趋向于完全相关。

根据分布函数（3）特征知，Gumbel Copula函数对变量在分布上尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到上尾相关的变化。因此Gumbel Copula函数可用于描述具有上尾相关特性的金融市场之间的相关关系。

2.2.2 Clayton Copula函数

Clayton Copula函数的生成元和分布函数分别为：

?（t）=（4）

CCl（u，v；α）=（u-α+v-α-1）（5）

式中，α∈（0，8）为相关参数。当α→0时，随机变量u，v趋向于独立；当α→0时，随机变量u，v趋向于完全相关。

根据分布函数（5）特征知，Clayton Copula函数对变量在分布下尾部的变化十分敏感，能够快速捕捉到下尾相关的变化。因此Clayton Copula函数可用于描述具有下尾相关特性的金融市场之间的相关关系。

2.2.3 Frank Copula函数

Frank Copula函数的生成元和分布函数分别为：

?（t）=-ln（6）

CF（u，v；α）=-ln

1+（7）

式中，α≠0为相关参数。α>0表示随机变量u，v正相关，α→0表示随机变量u，v趋向于独立，α<0表示随机变量u，v负相关。

根据分布函数（7）特征知，Frank Copula函数分布具有对称性，无法捕捉到随机变量之间非对称的相关关系。因此Frank Copula函数只适用于描述具有对称相关结构的变量之间的相关关系。

2.3 尾部相关性度量

由于传统的Kendall τ和Spearman ρ等相关系数只是对随机变量的全局相关性进行度量，而在金融领域研究中，更多的是考虑极端事件发生时，一个金融市场的变化对另一个金融市场趋势的影响，即二者尾部相关性的度量。

设随机变量X，Y的边缘分布分别为F（x）和G（y），Copula函数为C（u，v），则Copula函数相对应的上尾相关系数λup和下尾相关系数λlo分别为：

λup=P[X>F-1（q）|Y>G-1（q）]=（8）

λlo=P[X

式中，u=F（x），v=G（y），u，v∈[0，1]。

由式（8）和（9）知，Copula函数对应的上尾、下尾相关系数均属于[0，1]区间。若λup（或λlo）存在且在区间（0，1]内，则随机变量X，Y上尾（或下尾）相关；若λup（或λlo）等于零，则随机变量X，Y上尾（或下尾）独立。对于上述3种Archimedean Copula函数而言，Gumbel Copula上尾相关系数为2-21/α，下尾相关系数为0；Clayton Copula函数的上尾相关系数为0，下尾相关系数为2-1/α；Frank Copula函数尾部具有对称性且上、下尾相关系数均为0。

3 实证分析

为了考察美国次贷危机发生前后的不同时期内上证综合指数与深证成份指数之间的尾部相关关系，我们选取2006-01-04至2008-12-31期间上证、深证股票市场指数日收益率为研究对象，共729组数据。定义股票市场指数日收益率的计算公式为：

rt=ln（Pt/Pt-1），t=1，2，…，T（10）

式中，Pt为第t日的市场收盘价格指数。

鉴于2007-07-10美国穆迪、标准普尔宣布次贷级债降级而导致全球金融市场的动荡，标志着美国次贷危机正式爆发，相对应我国股市市场也随之发生剧烈波动。因此，本文以2007-10-12为分界点将样本划分为上涨期和下跌期2个子区间，即2006-01-04至2007-10-12为上涨期，共428组数据；2007-10-15至2008-12-31为下跌期，共301组数据。数据来源于国泰安数据库，数据处理利用EViews6.0及Matlab7.1软件。

3.1 平稳性检验

通过对样本数据进行ADF检验及P-P检验（见表1），我们发现上证和深证指数收益率序列的ADF检验统计值及P-P检验统计值均小于不同显著性水平的临界值，因此样本期间内上证和深证指数收益率序列均具有整体平稳性。

3.2 Granger因果检验

在实际经济问题研究中，虽然变量中有一些变量可能显著相关，但它们未必都有意义。因此，对于如何分析变量之间的相关关系就显得尤为重要。Granger（1969）提出一个检验变量之间因果关系的方法——Granger因果检验法。该因果检验方法不同于通常意义的因果关系，它的应用有助于减少时间序列的预测误差。为了考察样本期间内上证和深证指数收益率序列之间的相互关系，我们利用Granger因果检验法进行检验，结果见表2。

由Granger因果检验的结果可以看出，对于上证指数不是深证指数的Granger原因的检验的相伴概率为0.045 15，表明在95%的置信水平下，可以认为上证指数是深证指数的Granger原因；对于深证指数不是上证指数的Granger原因的检验的相伴概率为0.412 04，表明深证指数不是上证指数的Granger原因的概率较大，不能拒绝原假设，即可以认为深证指数不是上证指数的Granger原因。

3.3 数据描述性统计

表3给出上涨期和下跌期上证与深证市场指数收益率的统计性描述。从均值来看，上涨期两市均呈现正的平均收益率，而下跌期两市平均收益率出现大幅下降且均为负值，表明美国次贷危机的发生对我国证券市场指数收益率具有较大的负面影响。从标准差来看，下跌期的标准差显著大于上涨期的标准差，表明美国次贷危机的发生在一定程度上加剧了股市的波动。从偏度和峰度指标来看，不论上涨期还是下跌期上证与深证市场指数收益率均存在尖峰厚尾的特性，且结合Jarque-Bera统计量检验结果，表明沪深两个市场的日收益率序列均不满足正态分布的假设。

利用Matlab软件描绘出不同时期内上证与深证两市日收益率的散点图（如图1）。由散点图可以发现，不论上涨期或是下跌期上证和深证指数之间均具有较强的相关性和尾部特性。

3.4 Copula函数的参数估计与选择

由于常用的参数估计法都是在假定边缘分布形式的前提下进行，如果边缘分布的假设出现偏差，则Copula函数参数估计的精度性将会受到很大的影响。因此，本文利用Copula函数的非参数估计法进行参数估计，结果见表4。

对于不同时期内上证和深证市场指数之间的相关性研究，哪个Copula函数是最优的呢？本文利用拟合优度检验法：

Kc（t）=P（C（u，v）≤t）=t-（11）

式中，C（u，v）为分布函数，Kc（t）为（0，1）上均匀分布函数。

利用样本数据进行Kc（t）与U（0，1）的Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验选择Copula函数。结果见表5。

表5检验结果表明，当市场处于上涨期时，Gumbel Copula函数对沪深两市指数日收益率的联合分布的拟合是最优的；当市场处于下跌期时，则Clayton Copula函数对沪深两市指数日收益率的联合分布的拟合是最优的。

3.5 尾部相关性研究

根据择优选取的Gumbel Copula函数、Clayton Copula函数和式（8）、（9）分别计算上涨期和下跌期上证、深证两个市场在不同置信水平α下的尾部相关系数。结果见表6。

表6中前3列为下尾相关系数，后3列为上尾相关系数。从表6可以看出，当市场处于上涨期时，上尾相关系数在α=0.95时就已经趋于α=1时的极限值了。进一步可以发现，当上证指数日收益率超过q0.95，q0.975，q0.99时，深证指数日收益率超过对应的分位数的概率分别为：0.753 6，0.749 5，0.747 1，均超过0.05，0.025，0.01。这说明上证指数和深证指数之间在指数上涨期内具有较强的上尾相关性；当市场处于下跌期时，下尾相关系数在α=0.05时就已经趋于α=0时的极限值了。进一步亦可以发现，当上证指数日收益率低于q0.01，q0.025，q0.05时，深证指数日收益率低于对应的分位数的概率分别为：0.858 529，0.858 538，0.858 541，均低于0.99，0.975，0.95。这说明上证指数和深证指数之间在指数下跌期内具有较强的下尾相关性。但相比较而言，下跌期尾部相关系数大于上涨期尾部相关系数，这意味着股市下跌时的联动趋势较上涨时的联动趋势更加明显。

4 结 论

本文通过Granger因果检验，发现深证指数的波动不能够引致上证指数的波动，而上证指数的波动没有引致深证指数波动的原假设被拒绝，说明深证指数的变化受到了上证指数变化的影响。Granger因果检验结果表明，上证指数在中国股市中具有一定的主导性，而且上证和深证市场之间具有一定的相关性。

相关系数是描述变量之间相关性的重要度量工具。常见的线性相关系数在应用中具有很大的局限性，尤其是对于具有厚尾分布特征的变量之间的相关性问题。而大量研究表明，金融市场中很多问题恰恰具有非正态、厚尾等特性，因此，尾部相关系数的研究就显得尤为重要。文中利用Copula函数研究了不同时期内上证与深证指数之间的尾部相关性，通过择优准则选取Archimedean Copula函数族中具有尾部相关特性的Gumbel Copula和Clayton Copula函数拟合不同时期样本数据，结果表明沪深两市在上涨期和下跌期具有较强的尾部相关性，且股市下跌时的联动趋势较上涨时的联动趋势更加明显。这说明沪深两市的相关性呈非对称性，其相关性在熊市期间强于牛市期间。

主要参考文献

[1]余平，钟波.基于Copula函数的沪深股市相关性研究[J].陕西师范大学学报，2007（9）：28-32.

[2]韦艳华，张世英.Copula理论及其在金融分析上的应用[M].北京：清华大学出版社，2008.

[3]高铁梅.计量经济分析方法与建模[M].北京：清华大学出版社，2011.

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