速求五次等幂和“金蝉脱壳”数组

【摘要】本文利用构造可抹二次等幂和数组的方法，由可重复使用的“基本数组”，构造出4组可抹二次等幂和数组，在此基础上根据五次等幂和定理，快速构造出五次等幂和“金蝉脱壳”数组，即可抹五次等幂和数组，并简单介绍了可抹等幂和在代数恒等式、行列式恒等式上的应用，在构造三角形数、复数、四元数等幂和上的应用.

【关键词】金蝉脱壳；可抹五次等幂和数组；基本数组；五次等幂和定理

为探求等幂和问题，需引入一个简化记号.凡是ak1+ak2+…+aks=bk1+bk2+…+bks （k=1，2，…，n），都简记为（a1，a2，…，as）n=（b1，b2，…，bs）n，并称为s阶n次等幂和.

例如，124689k+692814k+849162k+986421k+418296k+261948k=216498k+

481926k+968241k+894612k+629184k+142869k（k=1，2，3，4，5），就可简记成 （124689，

692814，849162，986421，418296，261948）5=（216498，481926，968241，894612，629184，142869）5（1）

为研究可抹等幂和问题，需引入等幂和的一个性质：如果（a1，a2，…，as）n= （b1，b2，…，bs）n，那么（a1+m，a2+m，…，as+m）n= （b1+m，b2+m，…，bs+m）n.

等幂和（1）看似寻常，却有着“金蝉脱壳，至死不变”的性质：将等幂和（1）中每个数自左至右逐次抹去一位、两位、三位，直至剩下个位数，每组数之和、平方和、…、五次方之和总是保持彼此相等，即（24689，92814，49162，86421，18296，61948）5=（16498，81926，682

41，94612，29184，42869）5；（4689，2814，9162，6421，8296，1948）5=（6498，1926，8241，4612，9184，

2869）5；（689，814，162，421，296，948）5=（498，926，241，612，184，869）5；（89，14，62，21，96，48）5=（98，26，41，12，84，69）5 （2）；（9，4，2，1，6，8）5=（8，6，1，2，4，9）5.

不仅如此，将等幂和（1）中每个数自右至左逐次抹去一位、两位、三位，直至剩下个位数，每组数之和、平方和、…、五次方之和总是保持彼此相等，即（12468，69281，84916，

98642，41829，26194）5=（21649，48192，96824，89461，62918，14286）5；（1246，6928，8491，9864，4182，2619）5=（2164，4819，9682，8946，6291，1428）5；（124，692，849，986，418，261）5=（216，481，968，894，629，142）5； （12，69，84，98，41，26）5=（21，48，96，89，62，14）5；（1，6，8，9，4，2）5=（2，4，9，8，6，1）5.

有趣的是，把上面所有等幂和数组括号中的数n都换成第n号“三角形数”Tn（或正方形数或五角形数或多角形数，详见文献＼[1＼]），Tn=n（n+1）[]2，如把89换成三角形数T89，并把等幂和次数5换成2，就可得到“三角形数”（或正方形数或五角形数或多角形数）二次等幂和.如由等幂和数组（2）得：（T89，T14，T62，T21，T96，T48）2=（T98，T26，T41，T12，T84，T69）2，即（4005，105，1953，231，4656，1176）2=（4851，351，861，78，3570，2415）2，其和为12126，平方和为42979932.当然，把等幂和数组（2）化简，即括号中每个数都减去11后，得到相应的“三角形数”二次等幂和也是成立的.

不妨把具有“金蝉脱壳”性质的五次等幂和数组，称为五次等幂和“金蝉脱壳”数组，

简称为可抹五次等幂和数组.那么，如何构造可抹五次等幂和数组呢？下面，我们先来研究4组可抹二次等幂和数组的求法.

一、巧造4组可抹二次等幂和数组

首先，引入文献＼[2＼]中的引理（本文称它为引理1）：

引理1如果a+b+c =3t[]2，那么（a，b，c）2= （t-a，t-b，t-c）2；其逆命题也成立.

引理1的意义在于可用来构造二次等幂和数组.如取a=1，b=69，c=134，由a+b+c =3t[]2，得t=136，所以，（1，69，134）2=（136-1，136-69，136-134）2，即（1，69，134）2=（135，67，2）2.又如由引理1可构造出毎个数都是1位数组成的二次等幂和数组：取a+b+c =15时，由

a+b+c =3t[]2，得t=10.当a=1，b=6，c=8时，得（G）（1，6，8）2=（10-1，10-6，10-8）2，即（1，6，

8）2=（9，4，2）2（3）；同理，（2，6，7）2=（8，4，3）2；（H）（9，3，3）2=（1，7，7）2；（I）（6，6，3）2=（4，4，7）2；（J）（2，5，8）2=（8，5，2）2等；再根据等幂和性质，把等幂和数组（3）括号中的每个数都减去1，或根据引理1得：（0，5，7）2=（8，3，1）2，…

其次，利用毎个数都是1位数组成的二次等幂和数组（对应数要放在对应位置上），构

造可抹二次等幂和数组.在“可抹二次等幂和探究”（详见文献＼[2＼]）一文中，介绍了用最简单的二次等幂和数组构造可抹二次等幂和数组的简单方法，介绍了构造数论中著名的“等幂和问题”的可抹二次等幂和数组：（123789，561945，642864）2=（761943，323787，242868）2的方法.根据此方法顺次叠加等幂和数组（G），（H），（J），（I），（J），（H）与（G），得可抹二次等幂和数组：（1926291，6356536，8383838）2=（9184819，4754574，2727272）2.

最后，利用构造可抹二次等幂和数组的方法，构造出4组可抹二次等幂和数组（简称数

组1）.下面给出6个4组可抹二次等幂和数组（简称“基本数组”）：（A）（1，6，8）2=（9，4，2）2

=（2，4，9）2=（8，6，1）2；（B）（2，9，4）2=（8，1，6）2=（1，8，6）2=（9，2，4）2；（C）（6，8，1）2=（4，2，9）2=（4，9，2）2=（6，1，8）2；（D）（9，4，2）2=（1，6，8）2=（8，6，1）2=（2，4，9）2；（E）（8，1，6）2=（2，9，4）2=

（9，2，4）2=（1，8，6）2；（F）（4，2，9）2=（6，8，1）2=（6，1，8）2=（4，9，2）2.顺次叠加等幂和数组（A）与（B），得数组1：（12，69，84）2=（98，41，26）2=（21，48，96）2=（89，62，14）2；顺次叠加等幂和数

组（A），（B）与（C）（简称ABC法，以下同），得数组1：（126，698，841）2=（984，412，269）2=

（214，489，962）2=（896，621，148）2；由AFA法，得数组1：（141，626，898）2=（969，484，212）2

=（262，414，989）2=（848，696，121）2； 由ABFCED法，得数组1： （124689，692814，849162）2

=（986421，418296，261948）2=（216498，481926，968241）2=（894612，629184，142869）2 （4）.

可见，由n个可重复使用的“基本数组”，可构造出每个数都是n位数组成的数组1.

那么还有其他“基本数组”吗？有.由前面给出的6个“基本数组”，根据等幂和性质，

括号中的每个数都减去1，又可得到6个“基本数组”：（A1）（0，5，7）2=（8，3，1）2=（1，3，8）2=（7，5，0）2；（B1）（1，8，3）2=（7，0，5）2=（0，7，5）2=（8，1，3）2；（C1）（5，7，0）2=（3，1，8）2=

（3，8，1）2=（5，0，7）2；（D1）（8，3，1）2=（0，5，7）2=（7，5，0）2=（1，3，8）2；（E1）（7，0，5）2=（1，8，3）2=（8，1，3）2=（0，7，5）2；（F1）（3，1，8）2=（5，7，0）2=（5，0，7）2=（3，8，1）2.

类似地，综合应用12个“基本数组”，可构造出更奇特的数组1.如由B1A1FDE1CC1EF1B法，得（1049765832，8524087119，3792510684）2=（7861143258，0386821971，5118398406）2=（0168843951，7316198208，5881321476）2=（8742065139，1594710882，3029587614）2.（5）

由于“基本数组”是由等幂和：（1，6，8）2=（9，4，2）2或由这个等幂和括号中的每个数都减去1，得到的等幂和：（0，5，7）2=（8，3，1）2构成的.不妨，把构造数组1的方法，称为等幂和（1，6，8）2=（9，4，2）2构造法（简称为“168”构造法）.那么，由“168”法构造的数组1，能否构造出可抹五次等幂和数组（简称数组2，以下同）呢？下面，再来研究数组2的求法.

二、速求可抹五次等幂和数组

为构造数组2，我们先来证明两个引理.

引理2如果A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，那么A41+B41+（A1+B1）4=

A42+B42+（A2+B2）4.

证明由已知条件得A21+A1B1+B21=A22+A2B2+B22，因为A41+B41+（A1+B1）4=2（A41

+2A31B1+3A21B21+2A1B31+B41）=2（A21+A1B1+B21）2，同理，A42+B42+（A2+B2）4=2（A22+

A2B2+B22）2，所以，原等式成立.

引理3如果A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，那么（A1，B1，-A1-B1，

-A1，-B1，A1+B1）5=（A2，B2，-A2-B2，-A2，-B2，A2+B2）5（6）；其逆命题也成立.

证明（1）因为A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，所以，A41+B41+（A1+B1）4

=A42+B42+（A2+B2）4，所以，Ak1+Bk1+（-A1-B1）k+（-A1）k+（-B1）k+（A1+B1）k=Ak2+

Bk2+（-A2-B2）k+（-A2）k+（-B2）k+（A2+B2）k （k=2，4），又因为Ak1+Bk1+（-A1-B1）k+（-A1）k+（-B1）k+（A1+B1）k=Ak2+Bk2+（-A2-B2）k+（-A2）k+（-B2）k+（A2+B2）k=0 （k=1，3，5），所以，等幂和（6）成立.

（2）由等幂和（6）得：A21+B21+（-A1-B1）2+（-A1）2+（-B1）2+（A1+B1）2=A22+B22+

（-A2-B2）2+（-A2）2+（-B2）2+（A2+B2）2，所以，A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+

（A2+B2）2.

引理3的意义在于用来构造五次等幂和，又在于用来快速检验一个已知六阶五次等幂和的正确性.

为构造数组2，我们再来证明一个定理.

五次等幂和定理如果（a1，b1，c1）2=（t-a1，t-b1，t-c1）2=（a2，b2，c2）2=（t-a2，t-b2，t-c2）2，那么（a1，b1，c1，t-a1，t-b1，t-c1）5=（a2，b2，c2，t-a2，

t-b2，t-c2）5.（7）

证明因为（a1，b1，c1）2=（t-a1，t-b1，t-c1）2，由引理1得a1+b1+c1=3t[]2，所

以a1+b1=3t[]2-c1.设A1=a1-t[]2，B1=b1-t[]2，则A1+B1=a1+b1-t=3t[]2-c1-t

=t[]2-c1，所以A21+B21+（A1+B1）2=A21+B21+（-A1-B1）2=a1-t[]22+b1-t[]22+

c1-t[]22.再设A2=a2-t[]2，B2=b2-t[]2，同理可得：A22+B22+（A2+B2）2=a2-t[]22+b2-t[]22+c2-t[]22.根据等幂和的性质，由（a1，b1，c1）2=（a2，b2，

c2）2得： a1-t[]2，b1-t[]2，c1-t[]22=a2-t[]2，b2-t[]2，c2-t[]22，所以a1-t[]22+b1-t[]22+c1-t[]22=a2-t[]22+b2-t[]22+c2-t[]22，即A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，所以由引理3，得（A1，B1，-A1-B1，-A1，

-B1，A1+B1）5=（A2，B2，-A2-B2，-A2，-B2，A2+B2）5，即（a1-t[]2，b1-t[]2，c1-t[]2，t[]2-a1，t[]2-b1，t[]2-c1）5=（a2-t[]2，b2-t[]2，c2-t[]2，t[]2-a2，t[]2-b2，t[]2-c2）5，这个等幂和括号中的每个数都加上t[]2，即得等幂和（7），于是定理得证.

定理的意义在于用来构造不可抹五次等幂和.如由（1668，6881，8116）2=（9442，4229，

2994）2=（1681，6816，8168）2=（9429，4294，2942）2（其中t=11110，以下t值略），可得五次等幂和：（1668，6881，8116，9442，4229，2994）5=（1681，6816，8168，9429，4294，2942）5.

定理更重要的意义在于用数组1构造数组2.由数组1中的等式（4），可得数组2中的等式（1）； 由数组1中的等式（5），可得数组2：（1049765832，8524087119，3792510684，7861143258，

0386821971，5118398406）5=（0168843951，7316198208，5881321476，8742065139，1594710882，

3029587614）5.

类似地，根据“168”构造法可构造出无数新的数组2.如选第一个底数为1662，可由ACCB法或B1CCB法构造.由ACCB法，得数组1：（1662，6889，8114）2=（9448，4221，

2996）2=（2441，4998，9226）2=（8669，6112，1884）2，再根据定理得数组2：（1662，6889，8114，9448，4221，2996）5=（2441，4998，9226，8669，6112，1884）5；同样，由B1CCB法和定理得数组2：（1662，8889，3114，7448，0221，5996）5=（0441，7998，5226，8669，1112，3884）5.

前面，我们介绍了“168”构造法.那么，有其他构造方法吗？对比（1，6，8）2=（9，4，2）2

与（2，6，7）2=（8，4，3）2，把“基本数组”中的等幂和（A），（B），（C），（D），（E），（F）中的1，6，8，9，4，2分别置换成2，6，7，8，4，3，可得6个新的“基本数组”，再把这6个新的“基本数组”括号中的每个数，根据等幂和性质，分别减去1，或减去2，或加上1，得18个新的“基本数组”.由这24个新的“基本数组”，仿照“168”构造法，可构造出无数新的数组1和数组2.这样的构造方法，称为等幂和（2，6，7）2=（8，4，3）2构造法（简称为“267”构造法）.如由“267”构造法，可构造出数组1和数组2：（1049765832，5495274427，65546

29373）2=（7683347256，3237838661，2178483715）2=（2138847751，3287383616，7673438265）2=（6594265337，5445729472，1059674823）2 （8）和（1049765832，5495274427，6554629373，

7683347256，3237838661，2178483715）5=（2138847751，3287383616，7673438265，6594265337，5445729472，1059674823）5 （9）.需要说明的是不能将“168”和“267”构造法中的“基本数组”混合搭配来构造，因为此时构造出来的不一定是等幂和.

根据“168”或“267”构造法，构造出来的可抹五次等幂和数组，与完美的可抹二次等幂和数组一样，除了具备“金蝉脱壳”性质外，还具备以下性质： 可逆性、不变性、置换性、

回文性（详见文献＼[2＼]）.因此，把数组1中的等式（8）括号中每个数最后一位的数字抹去，可以得到3个新的数组1：（104，549，655）2=（768，323，217）2=（213，328，767）2=（659，544，

105）2（10），（976，527，462）2=（334，783，848）2=（884，738，343）2=（426，572，967）2 （11），（583，

442，937）2=（725，866，371）2=（775，361，826）2=（533，947，482）2 （12）； 把数组2中的等式（9）括号中的最后一位数字抹去，可以得到3个新的数组2：（104，549，655，768，323，217）5=（213，328，767，659，544，105）5 （13），（976，527，462，334，783，848）5=（884，738，

343，426，572，967）5 （14），（583，442，937，725，866，371）5=（775，361，826，533，947，482）5 （15）.

不管是可抹二次等幂和数组，还是可抹五次等幂和数组，除了“好玩”具有欣赏性外，能否把这些等幂和推广应用呢？首先，可构建代数恒等式.由（a，b，c）2= （t-a，t-b，t-c）2，

可得ab+bc+ca≡（t-a）（t-b）+（t-b）（t-c）+（t-c）（t-a）.如由数组1中的等式（10）可得：104×549+549×655+655×104=768×323+323×217+217×768=213×328+328×767+767×213=659×544+544×105+105×659=484811；由（ai，bi，ci）2=（ti-ai，ti-bi，ti-ci）2（i=1，2），可得a1a2+b1b2+c1c2≡（t1-a1）（t2-a2）+（t1-b1）（t2-b2）+（t1-c1）（t2-c2）.由数组1中的等式（10）和（11）可得：104×976+549×527+655×462=768×334

+323×783+217×848 = 213×884+328×738+767×343= 659×426+544×572+105×967=69343

7.其次，可构建行列式恒等式.由（ai，bi，ci）2=（ti-ai，ti-bi，ti-ci）2（i=1，2，3），得

a1b1c1a2b2c2a3b3c3≡t1-a1t1-b1t1-c1t2-a2t2-b2t2-c2t3-a3t3-b3t3-c3和a1b1c1a2b2c2111≡t1-a1t1-b1t1-c1t2-a2t2-b2t2-c2111.

设M=104k549k655k976k527k462k583k442k937k，N=768k323k217k334k783k848k725k866k371k，G=213k328k767k884k738k343k775k361k826k，H=659k544k105k426k572k967k533k947k482k，当k=1时，根据数组1中的等式（10），（11）和（12）可得M=N=G=H=-242759349； 当k=1或2时，根据数组2中的等式（13），（14）和（15）可得M+N=G+H=-485518698或-430396 553723 834698，且具有“金蝉脱壳”性质.又分别把三阶行列式M，N，G，H第三行中的底数都换成1，得到新的行列式，并分别记为M′，N′，G′，H′.当k=1时，根据数组1中的等式（10），（11）可得M′=N′=G′=H′=18669；当k=1或2时，根据数组2中的等式（13），（14）可得M′+N′=G′+H′=37338或44684 413298.

最后，介绍在构建可抹五次“复数”等幂和数组、可抹五次“四元数”等幂和数组的应用.由数组2中的等式（14）和（15），可构造可抹五次“复数”等幂和数组：（976+583i，527+

442i，462+937i，334+725i，783+866i，848+371i）5=（884+775i，738+361i，343+826i，426+53

3i，572+947i，967+482i）5（其中i为虚数单位）.把数组2中的等式（9）括号中每个数最前面的两位数字抹去，可以得到4个新的数组2：（49，95，54，83，37，78）5=（38，87，73，94，45，59）5，

（76，27，62，34，83，48）5=（84，38，43，26，72，67）5，（58，44，93，72，86，37）5=（77，36，82，53，94，48）5，

（32，27，73，56，61，15）5=（51，16，65，37，72，12）5.由上面4个数组2中的等式，可构造可抹五次“四元数”等幂和数组：（49+76i+58j+32k，95+27i+44j+27k，54+62i+93j+73k，83+34i+72j+

56k，37+83i+86j+61k，78+48i+37j+15k）5=（38+84i+77j+51k，87+38i+36j+16k，73+43i+

82j+65k，94+26i+53j+37k，45+72i+94j+72k，59+67i+48j+23k）5（其中i、j、k为虚数单位）.

一个可抹等幂和、一组代数恒等式、一组行列式恒等式，更显数的“和谐”之美，还有三角形数、复数、四元数等幂和更是锦上添花，更使我们浮想联翩，就像一个“数学问题”解决了，可能伴随着一个新的未解决的“数学问题”的诞生，简直让您欲罢不能，就像磁铁一样，深深地吸引着您，可抹二次幻方问题，“孪生”卡普列加数问题（详见文献＼[3＼]），如何快速求出m阶卡普列加数问题……更激励着我们去探索、去发现数学王国里新的奧妙.

【参考文献】

＼[1＼]谈祥柏.数：上帝的宠物＼[M＼].上海：上海教育出版社，1996（1999重印）：128-136，262-274.

＼[2＼]曾俊雄.可抹二次等幂和探究＼[J＼].数学学习与研究，2013（7）：121-122.

＼[3＼]曾俊雄.话说卡普列加数——我的数学“神话”＼[J＼].数学学习与研究，2013（11）：126-127，129.