变式探索三角问题一例

季建伟

三角板块是中学数学教学的重要内容，其以角度为自变量的函数观念颠覆了传统的函数认知.本文以一道三角问题为题根出发，进行变式探究和三角问题本质的追问，以典型的问题展开，使学生对三角问题的解决有更深的认知和了解.

1.题根

问题：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；（2）若b=23，求sinA+sinC的取值范围.

分析这是一个关于解三角形的问题，是高考三角函数的一大考查题型，主要根据三角形的特征，考查正弦定理、余弦定理以及三角形有关面积问题的应用等.掌握好这一题型，是决胜高考的一大保障.解（1）略.下面根据对第二问的理解，结合正弦定理和余弦定理的应用，作如下解法探析：解三角形是三角函数的一大主要组成部分，其与图像、性质的有机结合，体现了三角函数的统一性.通过对上述结论的应用，发现角B确定，尽管A，C都不确定，但A+C是定值，C可以随着角A的变化而变化，那么sinA+sinC可以表示成关于角A的函数关系式，利用角A的范围求范围即可.

解析由（1）知B=π3.∵A+C=2π3，∴C=2π3-A.∴0

∴sinA+sinC=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6.

∵0

当A=0或A=2π3时，sinA+sinC=32，此时为最小值，∴32

说明：利用三角形三内角之间的关系，通过三角函数两角和与差公式以及辅助角公式，将所求结论转化为与角A有关的msin（ωA+φ）的形式，通过整体代换的方式，利用角A的范围根据三角函数的图像与性质求范围，这是我们处理有关三角函数问题所经常采用的一种方法.这体现了三角函数图像与性质和解三角形的有机的统一.

2.变式探究

对于试题的第二问，笔者认为上述问题对于三角形的叙述没有作任何的限制，因此在解答过程中可以充分利用“三角形两边之和大于第三边”这一性质来判定取值的下限.如果对该三角形进行限制时，那会有怎样的效果呢？