用平面法向量求空间距离和夹角

朱月祥

立体几何问题中，求空间距离和夹角是一个常见的问题，是学习的重点.解这类问题的方法很多，通常手法是将空间问题“平面化”，即将空间问题归结为一个平面问题加以求解.

空间向量是数学的一个新工具，利用它处理立体几何问题往往可以省去许多麻烦，其突出的特点是以算代证.求空间角和距离时，并不用知道垂线在哪里，也不必作出要求的角，只要按固定的方法一步一步地算下去，就能得出你所要的结论.本文结合具体案例，介绍用平面的法向量来求解这类问题.

一、求点到平面的距离

图1例1在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点.求点D到平面B1EF的距离.

解如图1，建立空间直角坐标系，则

D（0，0，0），B（1，1，1），E1，12，0，F12，1，0.

于是，B1E=0，-12，-1，B1F=-12，0，-1.

设平面B1EF的法向量为n=（x，y，z），

则由n⊥B1E，n⊥B1F，得-12y-z=0，-12x-z=0.

令z=1，则x=-2，y=-2.所以n=（-2，-2，1）.

又DE=（1，12，0），则点D到平面B1EF的距离为

d=n·DEn=（-2，-2，1）·（1，12，0）3=1.

评析解这类问题的基本思路是：

图2如图2，点B到平面α的距离d=BC，设∠ABC=θ1，∠BAC=θ2，θ1+θ2=π2，且cosθ1=n·ABnAB.

在Rt△ABC中，BC=ABcosθ1=n·ABn，则d=n·ABn.

二、求平行平面之间的距离

例2在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，CC1=c，求平面A1BD和平面B1D1C的距离.

图3解如图3，建立空间直角坐标系，则

D（0，0，0），A1（b，0，c），B（b，a，0），C（0，a，0）.

于是，DA1=（b，0，c），DB=（b，a，0），DC=（0，a，0）.

设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z）.

由n⊥DA1，n⊥DB，得bx+cz=0，bx+ay=0.

令x=ac，则y=-bc，z=-ab.

所以，n=（ac，-bc，-ab）.

要求平面A1BD和平面B1D1C的距离，只需求点C到平面A1BD的距离，则

d=n·DCn=（ac，-bc，-ab）·（0，a，0）a2b2+b2c2+c2a2.

故平面A1BD和平面B1D1C的距离为abca2b2+b2c2+c2a2.

评析解这类问题的基本思路是：

若平面α∥平面β，求平面α和平面β之间的距离可转化为平面α内的任一点到平面β的距离.

三、求异面直线的距离

例3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是BB1，B1C1的中点，P是线段MN的中点.求DP与AC1的距离.

图4解如图4，建立空间直角坐标系，则B1（0，0，0），A（0，1，1），C1（1，0，0），D（1，1，1），P14，0，14.

设过DP且平行于AC1的平面α的方程为A2x+B2y+C2z+e=0.