数学建模思想探讨数学建模思想探讨

颜胤豪

【摘要】“模型思想”的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立二次函数表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.这是《课标》关于模型思想的一段描述.因此，各地中考试卷都有二次函数建模及其应用类问题.结合2013年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行二次函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立二次函数关系式.（2）应用等量关系建立二次函数关系式.（3）应用几何关系建立二次函数关系式.（4）应用分段分析建立二次函数关系式.（5）应用猜想探索建立二次函数关系式.

【关键词】二次函数；数学建模；分类思想的应用；数形结合和分类思想的结合

一、应用待定系数建立二次函数关系式

待定系数法是解决求二次函数解析式问题的常用方法，求二次函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途.这种方法适用于已知二次函数类型（或二次函数图像）的一类二次函数建模问题.确定曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式.这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法.而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c（a，b，c为待定系数），顶点式y=a （x-h） 2+k（a，k，h为待定系数），交点式y=a （x-x1）（x-x2）（ a ，x1，x2为待定系数）三类形式.根据题意（可以是语句形式，也可以是图像形式），确定出a，b，c，k，x1，x2等待定系数，求出二次函数解析式.

例1（2013年天津市10分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M.若自变量x和二次函数值y1的部分对应值如下表所示：

（1）求y1与x之间的二次函数关系式.

（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）.

①求y2与x之间的二次函数关系式；

②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1

考点分析探究性，二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，由实际问题引发的数学问题，菱形的判定和性质，勾股定理，解不等式组，数形结合和分类思想的结合.

分析（1）先根据抛物线经过点（0，94）得出c的值，再把（-1，0），（3，0）代入抛物线y1=ax2+bx+c，求出y1与x之间的函数关系式.

（2）先根据（1）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标.

①直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A与C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥直线l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PA=PM=y2-t，过点P作PQ⊥直线l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=y2-3，PQ=AC= x-1，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式.

②根据题意，借助函数图像.

二、应用等量关系建立函数关系式

等量关系法，又可称作方程转化法，即根据等量关系列出含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式.这种方法适用于“已知关于变量之间的等量关系（含公式）”类函数建模题.常用的寻找等量关系的方法有：（1）从常见的数量关系中找等量关系.（2）从关键句中找等量关系.（3）从题中反映的（或隐蔽的）基本数量关系确定等量关系.

例2（2013年辽宁营口12分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式.

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

考点分析二次函数应用，由实际问题列函数关系式，二次函数最值.

分析

（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式.

（2）用配方法将（1）中的函数关系式变形，利用二次函数性质求最大值.

（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求出x的值.

三、应用几何关系建立函数关系式

即在几何问题中，应用几何中的数量等量关系建立函数关系式.常用的数量等量关系有面积公式、勾股定理、比例线段（相似三角形的相似比）、锐角三角函数、有关圆的公式等.

例3（2013年福建莆田10分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）.矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x米（0

（1）求S与x的函数关系式.

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2，黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？

考点分析二次函数应用，菱形的性质，矩形的性质.

分析（1）连接AC，BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而进而求出Rt△AEM求出EH，这样即可得出S与x的函数关系式.

（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，由配方法求最值即可.

四、应用分段分析建立函数关系式

对于自变量的不同的取值范围，函数有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作分段函数.它是一个函数，而不是几个函数.它的函数关系式的建立，就得分段分析，应用前述方法分别进行，最后归纳.

例4（2013年湖北黄冈12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：y1=15x+900

（1）用x的代数式表示t为：t=▲ ；当0

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围.

（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

考点分析二次函数的应用，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，分类思想的应用.

分析（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x.

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y2=

100（0

-5t+110（2≤t<6）

及t=6-x即可求出y2与x的函数关系：当0

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可.

五、应用猜想探索建立函数关系式

当题目中“既没有已知函数类型，又没有已知关于变量之间的等量关系（含公式）”时，就要用猜想探究法探求函数关系式.即先得猜想函数的类型，应用待定系数法求出函数关系式，再进行探究.版权归

猜想探究法包括：

（1）逐一验证法：根据所学过的三类函数，逐一假设并求出其关系式，然后将其余对应值代入验证.它是直接从假设函数关系入手，方法最基础，说理较清楚，但步骤较繁.

（2）描点画图法：将已知的各组对应值分别作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出相应的点，观察点的分布情况，猜想函数类型，求出其关系式，并将其余对应值代入验证.它是从形的角度分析，较直观，体现了数形结合思想，但要耗时画图.

（3）数据特征法：分析所给数据的变化特征，猜想函数类型，求出关系式，并将其余对应值代入验证.它是单纯从数的角度分析，解题较简捷，但抽象思维能力要求较高.因此，在做题时，可根据具体问题选择探索方法.

例5（2013年湖北武汉10分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：