Lagrange插值法在电能计量中的应用

刘芳芳 张治银 赵言涛

【摘要】文章提出了一种基于Lagrange插值法的电能谐波计量算法。分析了插值引起的谐波分量幅值误差和相位误差。通过仿真和理论拟合曲线，计算出各次谐波幅值和相位的理论误差，并采用该方法修正实测值。

【关键词】线性插值;谐波分量;曲线拟合;理论误差

Abstract：This Article put forward a kind of power harmonic measurement algorithm，which based on lagrange interpolation method.The amplitude error and phase error of the harmonic component caused by interpolation is analysed.Through simulation and theory of fitting curve，the theory error of each harmonic amplitude and phase is calculated.Also the actuallly measured values is corrected based on the above method.

Key words：linear interpolation;harmonic component;curve fitting;theory error

引言

电能计量是为发电企业、输配电企业、电力用户之间进行贸易结算提供依据，它的准确与否直接影响到三者的利益以及交易的合理性。随着电力电子技术的迅速发展，大量具有非线性特性的电力设备（如电气化铁路和电解工厂领域的大功率硅整流设备，炼钢交、直流电弧炉，电石炉，感应加热炉和交流逆变器装置，大功率的电力拖动设备和电机变频调速装置等）投入电网运行，电网中出现大量的谐波，造成电力系统谐波污染，对电力系统的安全、稳定、经济运行构成潜在威胁，给周围电气环境也带来了极大影响，同时也对电能计量表的计量准确度提出了严峻挑战。本文提出一种基于Lagrange插值法的准同步采样谐波分析法，通过理论拟合曲线计算出各次谐波幅值的理论误差，以便于很好的修正实测值的理论方法。

1.Lagrange插值法在准同步采样中的应用

具有谐波分析及谐波能量计量功能的冲击负荷计量装置中。常常会采用傅立叶分析法进行分析处理，本文亦采用此种方法。而FFT方法要求波形的周期采样点数N必须满足N=2n，才能保证较高的分析精度，因此硬件实现同步整周期采样是保证谐波分析及谐波能量计量精度的前提。但实际使用中，冲击负荷表的采样模块采用的是固定采样率（12.8KHz）模式，负荷实际频率的波动会导致非同步采样的结果。当实际频率偏离理想的工频频率50Hz时，需要进行软件插值来达到同步或者准同步的效果。设原模拟信号为：

（1）

并设为离散信号的频率，为对应的周期，所得信号序列为，设为采样频率，为对应的采样周期，则其理想的采样序列应为：

（2）

由于常常不是整数，不能进行直接的抽取，因此可以对其相邻的采样点进行线性Lagrange插值。设，设是小于的最大整

数部分，是的小数部分，即。设插值所拟合的为多项式，有Vandermonde行列式：

（3）

可知，只要，有，于是方程组存在唯一解，也就是说插值多项式的唯一性保证了无论用什么方法满足插值条件的多项式都是同一个多项式。因此，可以采用运行速度快，可以预知中间值，精度高的插值法。

设已知，则拟合的拉格朗日多项式为L（p），且满足L（p）=，L（p+1）=几何上，L（p）为过的直线，从而得到：

（4）

由于满足方程既有拉格朗日插值法，可知：

（5）

以此类推，对于不相邻区间可以采取以下推导：如果互不相关，那么对于就存在惟一的小于等于次的多项式利用该方程可获得通过第+1个数据点的次多项式。真正的多项式是：

（6）

将每个数据点都作为一项。这时存储编写代码就很容易，因为所有的点可以分解到：

（7）

这一步运算的可以做进一步化简为：

（8）

假设除外的所有取样点都已定义了一个多项式或函数，则有：

（9）

写出只用于非零点的方程：

（10）

这样就可以利用方程（10）对方程（9）做归一化处理来得到方程（7）。

为了提高运行速度，由于中间值都可以预先知道，可以预先算出方程的这些值来减少插值计算时所需的运算量。采用该方法，只需要有限几十条记录的表格就能够获得其它线性插值法要用上千条记录的表格才能够达到的精度，并且速度还很快。

现用相邻区间Lagrange插值法验证上述问题研究。假设周期T的信号理想的采样点数为N，实际的采样点数为M，实际的采样点值为S，插值后的采样点值为S′，线性插值的流程为：

（1）求取M，设定N;

（2）采取每个点需要平移的平均量即：

（3）判断的大小，整数部分为，小

数部分为;

（4） 求取平移后（插值后）的点值：利用方程（5）变形求解即：

（11）

通过循环执行上述步骤，直至，可以得到全新的插值序列S′，该序列的长度为N。插值算法对波形中基波分量的影响非常小，但对谐波分量，特别是高次谐波分量会产生较大的影响，这种影响包括了幅值和相位两个方面。

2.插值引起的谐波分量幅值误差分析

建立插值算法的仿真模型并进行大量仿真试验，得到了不同基频条件下，各次谐波分量幅值偏离原始值的特性，如图1所示。从图上不难看出，随着谐波次数的增加，谐波的幅值衰减呈变大的趋势，50次谐波分量幅值的衰减超过10%。

对于谐波分量的幅值衰减，需要进行补偿才能保证计量精度。为此做出了以频率偏移量为变量时的特性曲线，其中横轴坐标为实际频率与50Hz之间的偏移量，纵坐标为谐波幅值误差。

图1 不同频率时各次谐波幅值误差曲线

图2 谐波幅值衰减误差的曲线拟合

图3 不同频率时各次谐波相角误差曲线

图4 不同谐波次数时各次谐波相角误差曲线

为表示清晰，选取谐波次数较大时的数据来做分析，此时谐波幅值误差数据也较大。以图中绿色的63次谐波误差数据为例，其线性拟合的斜率为-0.006761，在-2.5Hz处的初始误差为-16.613%，按sin（x）/x曲线进行拟合，得到图中的黄色曲线，可以看出，其拟合度是非常高的。在实际应用时由于sin（x）运算与除法运算均需耗费单片机大量资源，考虑到算法的实用性，可采用图中所示的黑色折线进行近似线性拟合，其中中间凹陷部分的宽度与谐波次数无关，均为±0.1Hz，此时只需保存各次谐波在-2.5Hz处的起始值与拟合斜率，即可根据实时频率，按照理论拟合曲线计算出各次谐波幅值的理论误差，然后对实测值进行修正即可。

3.线性插值引起的谐波分量相位误差分析

用同样的仿真模型分析插值引起的相角误差如图3和图4所示。虽然插值会引起信号谐波相角偏移，但对于计量而言，由于是同时对电压电流信号进行插值，对电压信号与电流信号的影响是相同的，因此不会影响到两者之间的相对相位差，对计量精度没有影响，因此不需要特殊的补偿修正。

4.结论

冲击负荷电能表采用上述方法对结果进行修正，使谐波精度较同类产品有明显提高。2～39次谐波幅值误差均优于国标GB_T_14549-93（电能质量公共电网谐波）中所规定的A类谐波要求，2～50次谐波功率误差均小于1%，其谐波精度已获中国计量院的谐波校准报告。

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