元胞自动机在金融领域中的应用研究

【摘要】本文对元胞自动机的概念、基本特征及其扩展作了简述，在此基础上阐述了元胞自动机在股票市场、期权市场、外汇市场、房地产市场等金融领域的应用，分析了此方法优势和局限，展望了未来的研究方向。

【关键词】元胞自动机 复杂系统 金融学

一、引言

金融市场是一个复杂系统，影响金融市场的外部因素则众多，从政治经济到社会心理，无一不对其产生各种微妙而深刻的影响，市场的涨落既体现了小集团的理念意志又在整体上具有统计特征。金融市场拥有众多投资个体与机构，没有中央控制，没有哪个主体能知道其他所有主体的状态和行为，正是由于这些投资主体之间既相互竞争又相互协作的局部作用，汇聚成了市场的整体变化。近年来，研究者对来自金融市场的历史数据统计分析，发现得到的结论与传统的金融市场理论、模型之间存在着不小的偏差，这些偏差对金融市场理论的三大假设：理性经理人、随机漫步模型和有效市场假说提出了挑战，传统的还原论方法无法解决作为复杂系统的金融市场中的问题。要模拟金融市场就需要一个既能体现市场统计特征又能反映个体特性的理论框架。

Von Neumann[1]提出的元胞自动机（Cellular Automata，简称CA）能利用简单的元胞、局部规则和离散方法描述复杂的全局的连续系统，已成为研究高度复杂系统演化的有力工具，元胞自动机“自下而上”的理论方法对金融领域的问题提出了独特的解决方法。

二、元胞自动机

元胞自动机是时间、空间和状态都离散的动力学系统，元胞自动机由五个基本组成部分：元胞、元胞空间、邻居、元胞状态和演化规则。元胞分布在元胞空间的网格点上，是元胞自动机中的基本单元，是模拟系统的个体。元胞空间是一种离散的空间网格，最常见的是一维的和二维的。邻居由对目标元胞下一时刻的状态施加影响的元胞集组成，在一维元胞自动机中，距离目标元胞在给定距离之内的元胞被认为是目标元胞的邻居；在二维元胞自动机中，有多种多样的邻居，其中著名有Von Neumann型和Moore型，如图1所示。元胞状态定义为元胞某方面的特性值，理想情况下，元胞自动机只有一个状态变量并且状态变量只能有限取值；演化规则被定义为从目标元胞的当前状态到目标元胞的下一时刻状态的映射。

a.Von Neumann型，每个元胞有4个邻居 b.Moore型，每个元胞有8个邻居

图1 二维元胞邻居取法示意图

总体上来讲，元胞自动机有以下特点：

第一，离散性：元胞自动机是高度离散的系统，具体表现在空间离散、时间离散、状态离散，这一主要特征使元胞计算过程得到显著地简化。

第二，齐性：体现在元胞空间内的所有元胞的变化都遵循相同的规则，即元胞自动机计算规则或元胞自动机状态转换函数相同。

第三，同步计算：元胞自动机的状态变化可以转化成对数据的计算或信息的处理，而这种计算或处理是同步进行的，特别适合于计算机并行计算和处理。

第四，时空局部性：每一个元胞的下一时刻的状态，取决于其邻域中的元胞的当前时刻的状态。从整个系统中信息传输上看，元胞自动机中信息的传递被限制在邻居范围内，传递速度是有限的。

第五，维数高：在动力系统中一般将变量的个数看成维数，在元胞空间中，每个元胞被看成是系统的一个变量，由于任何完备的元胞空间都是定义在一维、二维或多维空间上的无限集，因此，元胞自动机是一类无穷维动力系统。

目前，随着遗传算法、模糊数学、神经网络等数学工具在演化规则中的应用，出现了遗传元胞自动机、模糊元胞自动机和神经元胞自动机等。与传统方法相比，元胞自动机能够直接模拟系统各组元之间的相互作用，通过简单的规则产生出高度复杂的演化结果。该方法已经成功应用于物理系统、交通系统、自然灾害系统、传染病研究、历史系统等等各个方面。

三、金融领域的应用

（一）股票市场

在股票市场中，交易者是作为个体或机构的投资人，他们的交易行为除了本身掌握的信息外，还跟他们身边的人的，投资人股票买卖有紧密的关系。在元胞自动机模拟中，对于某一股票，可以用二维的元胞自动机模拟该股票的市场，用一个个元胞模拟每个投资人。元胞空间定义为该股票的所有持有者和非该股票持有者的集合；元胞的状态根据其持有的情况有买入、卖出和持有三种，在模型中可以选择不同的邻居形式进行模拟实验；演化规则必须考虑投资人之间的相互影响、投资人自身对股票买卖的分析能力、每个投资人的偏好以及宏观政策等主要影响因素。

股票市场受到内部因素、外部因素的共同作用。应尚军等[3]建立了基于元胞自动机的股票市场仿真模型，对投资人羊群行为等投资行为进行了模拟，得出结论：当股票市场出现完全从众行为时，市场的最终演化结果对初始状态相当敏感，不同的初始状态就可能有不同的演化结果；演化结果与初始状态密切相关但又无规律可寻，体现了股票市场的复杂性特征。杨春霞等[4]建立了基于遗传元胞自动机的虚拟股市模型，代表股民的元胞具备自主学习的能力，同时亦受邻近股民投资历史的影响，股民间的相互影响通过选择算子与交叉算子实现，外界环境通过改变变异概率影响股市系统的演化行为。范英等[5]建立了基于元胞自动机的兖州煤业股票市场演化模型，证实演化模型与现实市场在复杂性特征上的相似性，出现了混沌现象和分形维，但演化模型仅限于单支股票。孔建国等[6]基于元胞自动机建立了开放性的金融市场预测模型，可以通过扩充或重构其预测策略库来获得更精确的预测结果。

高建喜等[7]建立了描述投资者心理和股票交易量的元胞自动机模型，综合零邻居、Moore和Von Neumann三种邻居形式，用模糊隶属度函数刻画投资者的选择心理。应尚军等[8-9]随后应用元胞自动机模型对外部因素如何影响市场行为进行了演化，使人们能清晰地看到股票市场是如何从均衡走向非均衡，研究表明，外部因素的变化会导致市场的非均衡，或远离平衡的均衡，非均衡的存在和扩大会使市场发生动荡。王佳佳等[10]把股票市场划分为基本面分析和模仿者两类投资者，通过模型模拟，发现股票市场中尖峰厚尾、波动聚集与投资者交易行为有关。吴军等[11]模型分析了股票价格的宏观变化，建立了新的股票价格变化规则以及股票交易量的演化模型，假设了两类影响股票价格宏观变化趋势的因素，研究结果在一定程度上反应了股票价格的宏观变化趋势和股票价格变化的波动聚集性。覃松等[12]基于元胞自动机的股票市场模型，将投资者分成普通投资者、技术投资者、融资融券者3种，对融资融券推出前后的股票交易量以及价格波动进行计算机仿真，较好地反映出融资融券对现实股票市场带来的“双刃剑效应”，为研究融资融券对股票市场的影响提供了新的方法。

（二）期权市场

现代金融市场提供了许多除股票和债券以外的金融工具，这些工具统称为金融衍生工具。在金融衍生工具中，期权是最为常见的一种。期权又称选择权，是指其持有者能在规定的期限内按交易双方商定的价格购买或出售一定数量的基础资产的权利。基础资产和期权合约内容的多样性，造成了期权这种证券的复杂性，因此，期权的定价问题一直是金融领域里最困难的问题之一。

Black-Scholes模型是金融衍生品定价模型中最著名的一个，它解决了不派息股票的欧式看涨看跌期权的定价问题。在该模型中，期权定价模型的关键问题是如何确定期末基础资产的价格，而确定期末基础资产价格的关键是如何对基础资产价格的变动进行建模，Black-Scholes模型使用了先验的固定波动率来模拟基础资产价格的随机变化行为。

李捷[13]设计了基于元胞自动机的期权定价模型，该模型将市场参与者看作一个个元胞，使用元胞规则来模拟金融市场中交易者之间的交互行为，通过自下而上的方式来模拟，从而在总体上模拟出基础资产价格的变化，即总体市场特征。针对期权定价难于模拟基础资产价格波动随机性的问题，该模型使用元胞自动机产生的随机性代替Black-Scholes模型先验的那种随机性。对模型产生的数据进行分析发现，基于元胞自动机的期权定价模型不仅可以很好地模拟出基础资产价格变化的随机性，同时还可以产生经典定价模型不能解释的厚尾特征；因此，基于元胞自动机的期权定价模型相对于Black-Scholes模型来说不仅是可行的，而且是更加有效的。

（三）外汇市场

汇率——两种货币的相对价格，它不仅仅会影响到一个国家宏观经济的运行，而且会影响到一个国家经济微观层面上资源配置的优化。而浮动汇率制度下，外汇市场上汇率的持续异常波动是金融学中最让人困惑和难以给予理论解释的经济现象之一。从外汇市场宏观模型到上个世纪末日益盛行的市场微观结构理论研究，虽然取得了很多令人鼓舞的成果，但至今还不能很好解释汇率内在生成机制及其波动特性。与之对应，汇率理论中微观基础和宏观规律间的联系也一直未能得到合理解释。

黄光晓[14]采用元胞自动机模型建立了人工外汇市场来模拟外汇市场，把每个外汇市场交易者用一个元胞表示，模型演化规则把基点定在交易者心理分析上，然后在此基础上融入控制变量，即技术分析因素和基本分析因素，从而把三种分析方法统一在模型中。这样，首先从交易者心理预期角度分析外汇市场复杂性，接着建立基于异质性交易者的汇率决定模型，分析外汇市场复杂性的演化规律然后引入央行干预改进基于异质性交易者的汇率决定模型，分析央行干预对汇率稳定的影响。该模型从外汇市场微观主体的行为模式入手，来研究外汇市场存在的复杂性特征及其演化机制，加深了对汇率形成机制以及持续波动成因的理解。

该模型建立的人工外汇市场，简化了市场结构和交易者行为特征，与真实市场存在一定的差异，但仍很好地模拟了外汇市场复杂性演化的过程，为外汇市场演化规律的研究提供了有效的手段。仿真研究表明，外汇市场的复杂性演化与交易者行为模式紧密相关。交易者心理预期的变化是造成汇率预测的不确定性、环境变化影响的不确定性和市场轨迹的非周期性循环等复杂性特征的主要原因。

（四）房地产市场

日本房地产泡沫和美国次贷危机的发生，对世界两大经济强国的健康发展造成了极大影响。房地产泡沫破裂引起的金融危机更使日本经济陷入长期萧条。房地产泡沫以其深远的危害性引起了国内外的高度关注。最近几年我国的房地产也出现了类似于日本房地产泡沫产生和破裂前的经济状态，因此，研究房地产泡沫的形成过程对我国房地产业乃至国民经济的健康发展都是十分必要。

Katsuhiro Nishinari[15]发现交通流堵塞和房产泡沫有着很多的相似性，他用高速公路上交通流模型来模拟房地产公司的交易过程。通过重点关注交易量的变化来寻找房产交易过程中的亚稳态交易，最后得出结论，市场由于交易信誉问题突然崩溃导致泡沫破裂，还得到了泡沫破裂的临界密度。用这种微观的元胞自动机模型可以更清楚地看清房产公司的运行，以及房产泡沫的产生过程。

张芳菲[16]在Katsuhiro Nishinari工作的基础上加以拓展，作出了更加符合实际的改进，在所建立的基于元胞自动机的房产泡沫破裂模型中，设置了大、小两种不同的房地产公司，将封闭系统改为开放系统，通过着重研究交易量的变化来分析银行贷款对房产泡沫的影响。综合考虑银行信贷对房地产泡沫形成的影响，结合房地产公司自身交易、运行的状况，建立了不同贷款比例下的泡沫破裂模型。用模型分析不同贷款比例下房地产市场特征。结果显示，贷款比例过高会导致交易量和交易速度的急升急跌，同时还会造成空置房。因此，有效地控制银行贷款比例对整个经济健康持续发展是很重要的。而且进一步研究表明，高的贷款比例会使房产市场像交通流一样出现堵塞。

四、结语

元胞自动机作为一种空间、时间和状态全离散，空间上相互作用，时间上因果关系皆局部的网络动力学模型，不需要建立和求解复杂的微分方程，只要确定简单的局部演化规则即可，所以非常适合于模拟复杂系统的时空演化过程，为复杂现象的理论探讨和计算机模拟提供了有效的手段。另外，结合模糊数学、神经网络、遗传算法等其他非线性的工具，元胞自动机的模型也越来越复杂，不再是简单的规则模拟复杂的现象，而是复杂规律模拟现实世界。

元胞自动机在金融领域的应用研究前景广阔，但是目前元胞自动机在金融领域上的应用还处于起步阶段，研究成果存在一些问题和缺陷。第一，根据行为金融的理论，投资者心理包括过度反应、反应不足、损失厌恶等，投资者行为除了羊群行为外，还有相当重要的博弈行为未考虑。现有研究仅考虑同质投资者的羊群效应，显然不能模拟现实的投资者。第二，对于投资者的种类也未有全面考虑，现实市场中存在机构投资者、噪声投资者、大部分信息不足的中小投资者等，同时各投资者对待风险的态度也有所不同。第三，在元胞信息传播的研究中，也应考虑不同投资者传递信息的速度和能力也是不同，即将市场信息传播的理论研究与元胞自动机的模拟研究相结合。另外，元胞自动机信息传播非常缓慢，故无法模拟在短时间内由偶然事件引起的爆发式的全局响应，而这种情形往往被认为是真实市场出现大事件的可能原因。第四，此外，对比较重要的分形和脆性的研究也相对薄弱。

真实的金融市场是极其复杂的，受很多因素影响，如何将这些错综复杂的因素纳入到元胞自动机中使得模拟更加逼近真实，还有很多值得研究的内容。

参考文献

[1]Von Neumann J.The general and logical theory of automata[C].Jiffries L A，Ed. Cerebral Mechanism in Behavior The Hixon Symposium[M].Ney York：Wiley，1951.

[2]范英，魏一鸣，应尚军.金融复杂系统：模型与实证[M].北京：科学出版社，2006.

[3]应尚军，魏一鸣，蔡嗣经.基于元胞自动机的股票市场投资行为模拟[J].系统工程学报，2001，（10）：382-388.

[4]杨春霞，周佩玲，刘隽等.基于虚拟股市的演化复杂性度量与分析[J].中国科学技术大学学报，2006，36：556-561.

[5]范英，魏一鸣.基于R/S分析的中国股票市场分形特征研究[J].系统工程.2004，22（11）：46-51.

[6]孔建国，叶玲平，彭博.基于元胞自动机的人工金融市场及其仿真研究[J].计算机仿真，2005，3.

[7]高建喜，董宏光，刘源远等.基于元胞自动机的股市模拟及分析——投资者心理和股票交易量[J].数学的实践与认识，2009，2.

[8]应尚军，范英，魏一鸣等.基于投资分析的股票市场演化元胞自动机模型[J].管理评论，2004，（11）：1-7.

[9]应尚军，范英，魏一鸣.单支股票市场的元胞自动机模型及其动力学研究[J].系统工程，2006，（7）：31-36.

[10]王佳佳，李青，周美莲.基于元胞自动机的股票市场价格行为的研究[J].计算机技术与发展，2008，9.

[11]吴军，李青.基于元胞自动机的股票价格宏观变化的研究[J].计算机仿真，2009，7.

[12]覃松，邓敏艺，孔令江.融资融券影响的元胞自动机股票市场模拟研究[J].广西师范大学学报，2011，12.

[13]李捷.基于元胞自动机的期权定价模型[J].五邑大学学报，2011，11.

[14]黄光晓.外汇市场复杂性及人工外汇市场研究，博士论文，厦门大学，2009，4.

[15]Katsuhiro Nishinari.The bursting of housing bubble as jamming phase transition[J].Joumal of Physies：Conferenee Series，2010，221（l）：012006.

[16]张芳菲.基于元胞自动机的房产泡沫破裂模型，硕士论文，北京交通大学，2011，6.

作者简介：陶爽（1992-），女，河南郑州人，学历：本科，研究方向：基础数学、复杂系统。