小学生数学思维能力培养的研究

宋晓东

数学思维能力的培养是小学数学课程目标的重要组成部分. 它是知识与技能、解决问题、情感与态度目标的核心部分，对人的发展具有重要的作用. 思维能力是一切能力的核心，它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力. 思维能力是学习活动得以开展的先决条件，因为数学是其他学科的基础，小学生数学思维能力的优劣不仅仅决定了一个人数学学习能力的强弱，同时也关乎着一个人的全面学习能力如何，一个具有创新精神与实践能力的人，他的思维能力是极为优秀的，因此小学生数学思维能力的培养，对于一个人、一个民族是否具有创造力至关重要.

数学思维能力的强弱不是数学活动表面的一种热闹，它在于思维活动本身的严谨性、深刻性、抽象性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性. 培养学生具有优秀的思维品质，喜欢数学思考，享受数学学习，是我们亟待研究与解决的问题.

一、引导孩子从小喜欢数学

数学作为人类的一种文化，它的思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用. 因此每个人的成长离不开数学，它是学生全面发展的需要.

1. 学前数学避免小学化

我们作为数学教师，经常会看到有些孩子不爱学数学，或者说学不好数学. 这里有智能类型的客观因素，多数是因为过早地学习小学数学或者学习方式不当有关. 一年级入学的新生现状是基本接受了学前教育，由于我国教育正处于改革与发展之中，现行的学前班教学与小学教学基本不是有机衔接的关系，而是一种重复，数学学科教学尤为明显. 多数孩子上小学后，一、二年级的内容在学前已经提前得到训练，给学生造成一种“思考厌食症”，削弱了思考的积极性. 另外数学学习内容与方式的单一，使学生对数学学习逐渐失去了好奇心与积极探索的兴趣.

爱迪生小的时候不适应学校教育，却在妈妈的欣赏与培养下，成为具有1099项发明创造的世界发明之王. 爱因斯坦在小学时的一节手工课上，经过自己的努力只做出了班上最丑的小凳子，后来却成了20世纪最伟大的科学家. 这与教育是否顺应了人的发展有关. 小学阶段尤其是学前数学应该是真正的兴趣培养与启蒙的基础教学.

2. 尊重学生的思维特点

学生真正喜欢数学，能够积极思考的真正内在动因是，学习活动的开展应尊重学生最原始的思维特点，才能带领学生身心愉悦地走进数学世界. 尤其在学前以及一年级时期，千万不能因为他们所谓的不成熟或者不是数学化的思考而去主观地改变他们的数学思考方式. 例如：在学习20以内加减法时，9 + 6等于多少，学生最原始的思考方法是非常丰富的. （1）在第一个加数9或第二个加数6的基础上接着数的方法. （2）9 + 1 = 10，10 + 5 = 15.（3）6 + 4 = 10，10 + 5 = 15.（4）扳着手指从1开始数. （5）画出图形再数出来. （6）把9看成10，因为多看了1，再从6中减去1，10 + 5 = 15，等等. 这些方法的呈现不是简单地追求算法多样化，更重要的是全面了解学生的思维特点，有针对性地尊重、引导与优化. 在我们教师看来，其中有些方法太麻烦，所以自然地将凑十法按照我们传统的教学理念重视起来，甚至直接交给学生，忽略了孩子们原始的数学思考方法，他们的思维特点没有得到尊重、认可与重视，就这样学生被教师牵引着开始了数学思维之路. 从近期看，学生解决了某个问题，但不是他们自己的思考，这样会在思维习惯、思维品质的初步形成阶段中，暗示给学生一种没有自我的学习意识，不利于主动思考意识与能力的培养，没有学生自我思想的尽情绽放，还会有兴趣吗？更谈不上学生的个性发展与创新品质的形成了. 可想而知学生的后续学习会逐渐走向无味，享受不到数学思考的乐趣.

因此，在低年级的数学课堂教学中，一定给学生充分独立思考的时间与空间，按照他们的思维特点思考他们自己的数学，认真倾听他们对数学思考的解释. 无论这思考有多么的离谱，都要重视或从某种角度给予肯定. 做教师的一定要舍得时间投入，尽管这种投入可能近期看不到结果，但它一定是学生终身受益的长效. 我们不能因为学生说得不完整甚至不清楚而忽略了他们对数学的原始思考；也不能因为担心他们上课摆弄学具而省去了动手操作的过程，因为这是他们思考的辅助方式；更不能让学生感觉到数学就是数字，就是计算，应在空间与图形等其他领域中享受思考的乐趣. 在低年级的关键阶段，多关注学生的思维特点与差异，让其体验到积极思考的快乐与自信. 随着心智的发展，他们会慢慢地经过教师的引领与自我判断和优化，形成自己的思考类型，真正喜欢数学、喜欢思考.

二、引导学生真正学会思考

爱迪生说：“没有任何权宜之计可以让人逃避真正的劳动——思考. ”数学思考是真正的数学学习. 要让思考真正发生，真正促进学生的数学发展.

1. 合理安排“双基”与“解决问题”的教学时间

我们的数学课堂重视“基础知识与基本技能”的教学，由来已久. 尽管课程改革以来，我们的教学观念有所转变，但由于评价方式的单一，所以从一定意义上讲，“双基”教学依然是我们数学教学的重中之重. 因为学生的学习时间是有限的，所以用于简单技能训练的时间越长，有深度的数学思考、解决问题的时间就会相对减少，尤其是对过程开放的复杂问题的思考解决，探究、体验的时间会大量减少，学生很难体会到思维的深刻性，自然就享受不到高质量的数学思考的成果. 因此，学生感受不到思维能力提升带给自己的自信与快乐. 而对数学开放性问题解决能力的培养，是数学学习的主要目标，是培养创新能力的途径之一. 如果我们的数学教学，只培养了会快速、准确计算，能解决一些简单问题或过程受限问题的学生，创新人才从何而来，民族发展的不竭动力何在？华东师范大学数学教育研究所张奠宙教授说过：“过多地打基础，就像花岗岩基础上盖了个茅草房. ”“大厦是美丽的但是基础更为重要，虽然基础更为重要，但只有大厦才是美丽的. ”这富有哲理的话，正是对这种教学关系的一种诠释.

国际数学教育大会做过的数学问题解决专题研究的数据能够说明一定的问题.

中美小学生在四类问题上的平均得分（用百分数表示）：

从统计表中能够看到中国“双基”教学的成功之处，中国学生在计算及简单问题解决上比美国学生占绝对优势，但这种优势并没有在过程开放的复杂问题解决上表现出来. 同时也能看到中国学生数学能力呈现的是下降趋势，美国学生的数学能力是平缓上升的. 简单问题和过程受限的复杂问题的解决可以用标准算法或某一算法的变形，然而过程开放的问题解决却没有标准算法. 花大量时间在基础知识与基本技能的训练上，势必会造成思维习惯循规蹈矩、机械与肤浅，影响数学思考能力的真正提高. 我们不能将自己囿于在中国的教育群山之中，应该相信“他山之石可以攻玉”. 所以合理安排“双基”与“解决问题”的教学时间，让“双基”真正成为“解决问题”的基础知识，成为“解决问题”的能力源泉，解决问题的能力能够在“双基”的基础上不断提升、创新、发展.

（1）减少单纯的计算与技能训练，增强技能训练的思考性

用创新的办法使该方面的学习变得生动、具体、思考性更强. 例如：四则混合运算的学习，我们的现行教材已经非常重视结合具体的问题情境理解运算的顺序，我们一定要读懂教材，避免进行大量的纯数字的计算练习. 例如：将计算顺序的理解与解决生活中的问题相结合，体会先算乘除后算加减，有括号的先算括号里的运算法则. 或者引导学生根据算式编问题来理解运算顺序.

（2）在提出问题、解决问题中培养学生的思维能力

提出问题、分析问题、解决问题是数学思考的载体，同时通过数学思考达到真正解决问题的目的. 引导学生从现实生活中发现问题、思考问题，学会数学化地思考，逐渐认识到数学内容是现实世界的抽象、概括，达到认知上的一种飞跃. 具备了发现问题的意识与能力，才会有创新性思考能力的提高. 在即将颁布的数学课程标准中，将会增加“发现问题、提出问题”的培养目标，如此，将来才会在世界的经济舞台上出现更多的“中国制造”.

2. 在独立思考、合作交流中提升数学思维能力

数学家华罗庚说：“独立思考能力是科学研究和创造发明的一项必备才能. 在历史上任何一个较重要的科学上的创造和发明，都是和创造发明者的独立地深入地看问题的方法分不开的. ”

独立思考能够张扬学生的个性、独特性、爱好、专长，发展学生的个体思维能力. 独立思考也是合作交流的基础，不会人云亦云，不会失去思维的主动性、独特性. 所以在教学中，我们应该充分尊重学生，给学生创设一种安全、和谐的心理氛围，保证他们能够身心放松地进行独立思考. 例如：不随意打扰学生思考问题，不急于评价正在表达中的优点与错误，保证独立思考与表达的完整、连贯，对学生具有独特性的思考予以肯定鼓励.

在独立思考的基础上，组织学生合作、交流，在合作交流中实现自我，提升自我. 通过交流表达、倾听，完善自己的思考.

3. 尊重学生思维表征的个性特征

思维表征是学生思维过程的表述，有言辞表征、符号表征、图示表征、算数表征、代数表征、半抽象策略表征等. 我们的课堂教学往往重视算数与代数表征的运用，忽视了其他表征对学生思考能力的表达与提升. 因为学生的思维品质不同，决定了表征的不同. 不是每名学生都能较早地完成由具体形象思维向抽象思维的过渡，所以应当允许学生使用他们能够理解的表征形式表达他们的思考过程，这样学生的思考对他们来说能够得到清晰的认证，有助于思维能力的提高. 例如：教学中有的同学在解决问题时，尤其是解决开放性问题时，他们能通过思考得到答案，但却不会用教师期望的式子表达，那么就应该鼓励他用言辞的形式把过程写出来或说出来，或者用表格、图画的办法表示出来，然后再引导、帮助他们用数学模型表示出来. 再如：学生在计算从一个时刻到另一个时刻的经过时间时，受计算教学的影响，很多同学会把两个时刻相减，在他们不会将时刻转化为时间再相减的时候，应该允许学生用语言文字和流程图示表达出经过时间.

4. 引导学生经历从无序到有序的思考过程

有序思考可以让思路更清晰，优化思考方式，提高思考效率. 所以，具体解决问题中，应该引导学生逐步学会有条理地思考问题.

例如：将10、20、30、40、50、60、70、80这8个数填入小圆圈中，使每个大圆圈上的数相加的和相等（两个大圆圈，两个数字公用）. 大多数学生完成这道题的初始方法应该是尝试，其实尝试的方法也是很好的一种数学思维方法，是学生必经的一个学习过程，关键是教师应该抓住这个尝试的契机，引导学生反思、总结后，学习有序思考. 因为数学学习最重要的不是让学生记住了多少数学概念、性质，会算多少道题，而在数学学习过程中形成的思想、方法对人成长所起的作用才是终身受益的. 在即将颁布的《数学课程标准》的目标中也加进了基本思想、基本方法，由“双基”变成了“四基”. 这样的问题就可以利用现代信息技术，动画演示有序的思维过程. 引导学生观察题中是两个大圆，而且要将这8个数分成两组，这两组中有两个数是重复的，每组数的和相等. 这两组数的和与这8个数的和会有什么样的关系？学生会发现：“这两组数的总和比8个数的和多出两个数字相加的和. ”动画演示，先将这两个大圆分开，算出8个数的总和除以2得到每个大圆的和是180. 然后再将这两个大圆相交，可以任意选两个数公用，这样对于每个大圆来说都增加了一个数，算出这两个数的差是多少除以2，然后从其他三个位置的数中找到差时这个数的两个数字调换位置就可以了. 经历了这个过程，学生就会对有序的数学思考方法在解决问题中的作用有更深刻的认识，激发学生面对纷繁复杂的问题时，会冷静思考，寻找有效的思维方式、方法.

三、注重学生数学猜想能力的培养

数学猜想是人们根据已有数学知识和经验，运用非逻辑的思维方法，凭借直觉而作出的假设和预测. 它是人们探索数学规律，发现数学知识的手段和策略，培养小学生的数学猜想能力，不仅能够调动学生学习的积极性、主动性，促使学生主动获取知识，而且有利于培养学生的直觉思维、探索精神和创新意识，发展学生的推理能力.

例如：学习平面图形的面积时，学习了长方形与正方形的面积之后，学习平行四边形、三角形、梯形的面积时，可以引导学生猜想，要探究的图形面积与学过的图形面积会有什么关系呢？怎样计算它的面积呢？学生通过猜想、验证，逐步达到合情猜想，促进思维的积极与主动. 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现. ”学生天性好奇心强，富于幻想，教学中教师要抓住这一心理特点，创设合适的问题情境，引导与鼓励学生进行数学猜想，发展思维能力.

四、尊重数学的科学性

爱因斯坦说：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，而且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中；数学之所以有高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的. ”因此，教师对数学的理解一定要准确和通透. 例如概念教学，概念的教学应该是数学教学的重点，同时也是难点，除了揭示每一个概念的内涵和外延，还要让学生理解概念之间的关系. 这对逻辑思维正在形成的小学生来说，尤为重要.