勾股定理靓出面积关系

李显国

摘要：在初中数学中，勾股定理是一个重要的定理，前人对其做过无数的研究，也取得了显著的成果。在本文中，笔者主要通过对勾股定理的证明及应用展示勾股定理的美，同时靓出勾股定理与面积之间的关系。

关键词：勾股定理；多边形；面积关系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146

勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。

一、勾股定理的证明

1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。

由图可知：（a+b）2-■ab·4=c2

a2+2ab+b2-2ab=c2

即：a2+b2=c2

也就是说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

2. 如图将4个全等的直角三角形拼成一个大正方形

由图可知：c2-■ab·4=（a-b）2

c2-2ab=a2-2ab+b2

即：a2+b2=c2

这样又得到了勾股定理的另一种证明方法。

3. 如图将两个全等的直角三角形拼成如图的梯形

由图可知：■（a+b）2-■ab·2=■c2

■a2+ab+■b2-ab=■c2

即：a2+b2=c2

以上是勾股定理的3种证明方法，实际上勾股定理的证明到目前已有3000多种。

二、勾股定理的应用

下面我们利用勾股定理说明以三角形的三边长围成的正多边形的面积之间的关系。

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，求证S2+S3=S1。

如图做三角形S2的高h，因为S2是以b为边的等边三角形，易得

h=■b，S2=■·b·■b=■b2

同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根据勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1

即：S2+S3=S1

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正四边形，求证S2+S3=S1。

证明：∵S2=b2，S3=a2，S1=c2

根据勾股定理：a2+b2=c2

∴ S2+S3=S1

3. 如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，

求证： S2+S3=S1。

证明：如图连接正五边形的中心O与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h，

∵cotα=■，∴h=■cotα，

∴S1=■c·■cotα·5=■c2·cotα，

同理：S2=■b2·cotα，S3=■a2·cotα，

∴ S2+S3=■b2·cotα+■a2·cotα=■cotα（b2+a2）

由勾股定理得：a2+b2=c2，∴S2+S3=■cotα·c2=S1

即： S2+S3=S1

依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n边形时，S2=■b2·cotα，S3=■a2·cotα，S1=■c2·cotα，根据勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα·c2=S1

即：S2+S3=S1

通过上面的证明我们可以得到“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和。”

同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”。

下面我们来看证明：

已知：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，（上接第146页）b，c为直径做半圆。

求证：S2+S3=S1

证明：∵S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2

∴S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，

即：S2+S3=S1

通过上面的推理、证明，充分展现了勾股定理的另一种美，也靓出了勾股定理与面积之间的关系。

（作者单位：陕西省安康市岚皋县城关中学 725400）