数论整除规律的扩展

李宝林

【摘要】 本文為了证明 “一个数后n位能被2n整除，则这个数能被2n整除”及其逆命题，先从n = 4时入手，将数除以2 得到的商根据n = 1，2，3成立的情况下讨论，得到了n = 4时成立，并用类似的方法推广到一般项. 为了证明“若有一个数，这个数能被2n整除，则它的后n位能被2n整除”这个命题，先从n = 2入手用反证法证明了其成立，然后用类似的方法证明了n = 3时的情况并推广到一般项. 从而使原有的整除规律其中几条推广到了一般项.

【关键词】 整除；整除规律；反证法；扩展

整除规律第二条：若一个数尾数是偶数，则这个数能被2整除；整除规律第四条：若一个数最后两位能被4整除，则这个数能被4整除；整除规律第八条：若一个数后三位能被8整除，则这个数能被8整除. 我们有理由猜想是否一个数后四位能被16整除，这个数就能被16整除……一个数后n位能被2n整除，则这个数能被2n 整除. 再有，是否一个数能被2n整除 就能得到这个数后n位能被2n整除.

证明：

（一）若有一个数它的后n位能被2n整除，则这个数能被2n整除.

先证明n = 4的情况：若一个数的后4位能被16整除，则这个数能被16整除.

证明：设一个数…wxyz（“…”表示wxyz前面的数，wxyz是这个数的后四位）.因为wxyz Mod16 = 0，则至少z是偶数，那么这个数至少能被2整除. 将这个数除2时除到倒数第5位时有以下两种情况：

（1）若第5位是奇数，则余下所得的数就和1wxyz除2所得的数相同. 则又有两种情况：

同理还可以连续除以3个2，在这种情况下猜想成立.

（2）若这个数的倒数第5数位是偶数，则除后4位时就不受倒数第5位的影响. 整除的结果和后4位■所得的效果相同. 对所得的数继续除2，出现的现象就和前面所讨论的一样了，所以还能连续整除3个2.

综上所述，若一个数的后4位能被16整除，则这个数能被16整除成立.

同理可证：若一个数的后5位能被32整除，则这个数能被32整除.

推广到一般式：若有一个数它的后n位能被2n整除，则这个数能被2n整除.

证明同上述，先将这个数除2，根据“它的后n位能被2n整除”这一条件可以推导除得的新数还能被2整除……一直到除完n个2为止.

（二）证明其逆命题：若有一个数，这个数能被2n整除，则它的后n位能被2n整除.

先证明n = 2的情况：若有一个数，它能被4整除，则它的后2位能被4整除.

类似可证明一般式：若有一个数能被2n整除，则这个数的后n位能被2n整除.