柯西不等式应用的五种技巧探研

熊秋玲

摘 要：对不能直接应用柯西不等式求解的问题，归纳出五种常见的变换技巧，即拆项（常数项）、添项、因式嵌入、巧设待定常数、变量代换，使之能应用柯西不等式，达到解答问题的目的。

关键词：柯西不等式；应用；技巧

柯西不等式： ∑ni=1 ai2∑ni=1 bi2≥（∑ni=1 aibi）2，（aibi∈R，i=1，2，…，n），等号当且仅当ai=kbi （i=1，2，···，n）时成立。

本文初步探讨柯西不等式应用的五种技巧，供广大师生作为数学高考复习及竞赛辅导参考。

一、常数的巧拆

根据题中的数值特征巧拆常数是常用技巧。

例1：设f（x）=lg，若0≤a≤1，n∈N，且n≥2，求证：f（2x）≥2f（x）。（1990年高考数学理科试题）

证：考虑到n=12+12+…+12及a≥a2有：n[12x+22x+…+（n-1）2x+an2x]≥（12+12+…+12）[12x+22x+…+（n-1）2x+（anx）2]≥（1x+2x+…+（n-1）2x+anx）2

即≥（）2

lg>2lg

亦即：f（2x）≥2f（x）.

二、项的巧添

有时求最值或证明不等式不能直接应用柯西不等式，添加适当常数项或和为常数的各项，就可运用柯西不等式。

例2：已知a1、a2，…，an∈R+，且S=a1+a2，…an，求证：++…+≥（其中n≥2）。

证：+1=，+1=，···，+1=，运用柯西不等式，[（S-a1）+（S-a2）+···+（S-an）]·[++···+]≥[·+·+···+·]2=n2，于是（n-1）S[++···+]≥n2，即++···+≥，∴（-1）+（-1）+···+（-1）≥-n=，即++…+≥。

三、因式的巧嵌

为了运用柯西不等式，有时需要巧妙地嵌上一个因式。此因式嵌后，目的是为了出现证明题中的因式，而往往嵌上的因式和是定值，再出现的因式（∑aibi）也是定值。

例3：P为ABC内一点，D、E、F分别为P到BC、CA、AB各边所引垂线的垂足，求所有使++为最小的点P。（第22 届国际数学IMO竞赛试题）

解：设ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，面积记为S，又设PD=x，PE=y，PF=z，则ax+by+cz=2S。由柯西不等式（嵌乘因式ax+by+cz）有[（）2+（）2+（）2]·[（）2+（）2+（）2]≥[·+·+·]2=（a+b+c）2，即（++）（ax+by+cz）≥（a+b+c）2，∴++≥，即++≥. 上式当且仅当== （即x=y=z亦即PD=PE=PF）时等号成立。因此，使++为最小的点P是ABC内心。

四、待定常数的巧设

为了创造条件运用柯西不等式，我们还常引进待定常数，其值由题设或由等号成立的充要条件来确定。

例4：设a、b、x、y∈R+，k<2，且a2+b2-kab=1，x2+y2-kxy=1，求证：ax-by≤，ay+bx-kby≤.

证：（1）引进待定参数t∈R+，运用柯西不等式。4ax-by2=（a+b）（x-y）+（a-b）·（x+y）2=

t（a+b）+（a-b）（x+y）2≤[t2（a+b）2+（a-b）2][+（x+y）2]=[（t2+1）（a2+b2）+（2t2-2）ab][（t2+1）（x2+y2）+（2t2-2）xy]/t2. 为运用条件令=-k，即t2=，t=. ∴4ax-by2≤，∴ax-by≤=.

（2）引进待定参数μ∈R+，运用柯西不等式。4ay+bx-kb2=（2a-kb）y+2x-（2x-ky）b2=（2a-kb）μ·

+（2x-ky）b2≤[μ2（2a-kb）2+b2][（）2+（2x-ky）2]==[4μ2a2-4μ2kab+（k2μ2+1）b2][4μ2x2-4μ2kxy+（k2μ2+1）y2]/μ2. 为利用条件令4μ2=k2μ2+1，即μ=，∴4ay+bx-kby2≤=（4μ）2，于是ay+bx-kby2≤2μ=.

五、变量代换的巧引

为运用柯西不等式，有时可引进适当的变量代换。

例5：设a、b、c是三角形的边长，试证：a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，并确定等号在什么时候成立。（第24届国际数学竞赛题）

证：引进代换a=x+y，b=y+z，c=z+x，则原不等式为：（x+y）2（y+z）（x-z）+（y+z）2（z+x）（y-z）+（z+x）2（x+y）（z-y）≥0，展开并化简后得：xy3+yz3+zx3-xyz（x+y+z）≥0，即证：xyz（++-x-y-z）≥0，即证：++≥x+y+z. 由柯西不等式：（x+y+z）（++）≥（x+y+z）2，即++≥x+y+z.

等号成立当且仅当x=y=z时，原不等式成立，且等号成立当且仅当a=b=c时。

总之，在许多问题中，若利用柯西不等式去解决，就能柳暗花明又一村。那些不能直接应用柯西不等式求解的问题，我们可通过一些变换技巧，使之能应用柯西不等式，达到解答问题的目的。

参考文献：

[1]蒋明斌.巧用柯西不等式证不等式竞赛题[J].数学通讯，2006（20）.

[2]王学功.著名不等式[M].北京：中国物资出版社，1994.

（江西省南昌市卫生学校）