命题逻辑中推理有效性的判定

何刚

亚里士多德创立逻辑学科以来，逻辑与推理就密不可分，亚里士多德说：“一个推理是一个论证，在这个论证中，有些东西被规定下来，由此必然地得出一些与此不同的东西。”[1]可以说，这段话是历史上最初的对于推理的定义。它描述的是一个有三部分组成的推理结构：第一部分是前提（被规定下来的东西），第二部分是结论（一些与此不同的东西），第三部分是从前提到结论的推理过程（必然地得出）。我们可以用现代逻辑的方法刻画出亚氏的推理结构。

P1 ，P2，……Pn ┠ B

这样的推理结构有一种必然得出的性质。虽然没有明确说出什么是“必然地得出”，但是从他的论述可以看出是符合三段论的有效式，从真前提一定得出真结论。正确的形式下，真前提必然的出真结论。这正反映了演绎推理的实质。逻辑与推理相关，推理与演绎相关，演绎与必然性相关，这都说明了逻辑和推理的有效性的关系。

逻辑是关于思维形式及其结构的学科，那么思维形式结构可以保证总真前提必然得出真结论，在这种逻辑形式中前提真可以保证结论的真。我们用命题逻辑的方法来刻画思维形式的这种有效性或保真性，即通过一定的判定方法可以确定一个推理是命题逻辑系统中是否为重言式。我们知道，一个推理的形式可以刻画为一个蕴含式，蕴含式是在真值的层面上反映推理的过程，前件是前提的合取，后件是结论。我们由推理有效性的定义可知，一个命题推理是有效的，当且仅当不可能出现前件真而后件假的情况，即这个推理的形式是重言蕴涵式。所以，判定一个推理是否有效，在语义层面上，就是判定它的真值形式是否为一重言式。这样的话，命题推理有效性的判定，就转化为对推理真值形式是否为重言式的判定。下面就从真值形式的角度，分别介绍真值表方法和简化真值表在判定推理有效性中的使用方法。逻辑作为一门工具性学科，理论的把握和技能的训练同样重要，这四种判定方法就是作为一种判定推理有效性的技术手段，对于逻辑应用的深入具有重要意义。

一、真值表方法

真值表方法是从真值形式的层面来判定一个推理的有效性，适用范围是命题逻辑中的推理形式，分析的基本单元是命题，通过给命题以不同的真值赋值，运用逻辑联结词的逻辑性质来刻画推理的有效性。运用真值表方法首先需要构造一个推理的真值形式，构造真值形式的步骤是：第一：确定命题变项的数量，就是在一个推理形式中有多少不同的原子命题；第二，通过表格列出命题变形的真值组合情况，任一命题变项的真值情况有两种，对于n个命题变项的取之情况有2n组，相应的列出的真值表中的真值组合情况就有2n行；第三，运用逻辑联结词的逻辑性质，相应于命题变项的各组取值，计算出真值形式的真值，真值形式的取值和命题变项真组合的情况是对应的，有多少种命题变项的真值组合情况就有多少种真值形式的组合情况；第四，做出完整的真值表，查看真值表中的最后一列即真值形式的取之情况，如果全部为真，则这个推理形式是重言式。

二、简化真值表

真值表方法对于命题逻辑中的推理是一种能行的判定方法，就是说对于任一真值形式，我们都可以画出真值表来判定这一真值形式是重言式、矛盾式或可真式。真值表方法作为一种能行的判定方法，对于所有命题逻辑中的推理都可以判定其有效性。但是在日常生活和科学研究的推理中，有的推理过程冗长，推理中命题变项的数目可能很多，在这样的推理中，真值表方法也是可以的判定的，但是在技术操作的层面上过不够简便，例如如果出现10个命题变相，相应的真值表就有1024行，操作的现实性非常小。而简化真值表是一种技术上较为简便的能行判定方法，也成为归谬赋值法，主要用于判定一真值形式是否为重言式。而对于真值形式的矛盾式和可真式的判定，简化真值表就没有真值表那样的适用范围。而对于判定命题逻辑中推理的有效性而言，简化真值表方法或归谬赋值法是一种能行的判定方法，运用归谬赋值法可以判定推理的有效性。

对于直接判定推理形式的方法，可能过程比较冗长，技术操作难度大，我们可以通过间接的方法来判定推理的有效性。“归谬赋值法的基本思想是这样的：为了判定一真值形式是否为重言式，我们可以假定它不是重言式，即至少有一组赋值似的该真值形式的取值为假，一句这个假设来分别给各个命题变项赋值。在赋值的过程中，如果对一个命题变项即赋真值又赋假值，违背了逻辑思维规律的同一律，这说明原来的假设是不成立的，即所要的判定的真值形式不可能为假，因此，只能是重言式，如果在赋值过程中并没有矛盾出现，也就说明可以找到一组赋值使得该假设为真，即该真值形式不是重言式。”[2]

推理有效性的判定对于逻辑具有重要意义。前面已经指出，在命题逻辑中，命题推理的真值形式是一蕴含式，因此在真值形式的判定中，判定蕴含式是否为重言式具有特别重要的地位。

三、二者的比较

本文主要介绍了真值表方法和简化真值表方法在判定命题逻辑中推理有效性的运用，当然，还有其他的方法也可以判定推理的有效性，比如范式方法、真值树方法等等。真值表方法和简化真值表方法在逻辑推理有效性的判定中各有所长，真值表方法作为一种能行的判定命题逻辑中推理有效性的方法，可以判定所有的真值形式是否为重言式、矛盾式、和可真式，而简化真值表方法虽然也是一种能行的判定推理有效性的方法，在技术操作层面比较便捷可行，但是在适用范围上不及真值表，只能判定任一推理形式是否为重言式，不能判定是否为矛盾式和可真式。真值表方法和简化真值表方法是命题逻辑中推理有效性判定基本方法，对于这些理论和技术的掌握对于逻辑及其推理有效性会有更深层次的理解。

【参考文献】

[1]陈慕泽，于俊伟.数理逻辑基础---一阶逻辑与一阶理论[M].北京：中国人民大学出版社，2003

[2]郭桥，资建民.大学逻辑导论[M].北京：人民出版社，2003

[3]陈波.逻辑学导论[M].北京：中国人民大学出版社，2006

[4]亚里士多德.工具论[M].北京：中国人民大学出版社，2003

【注释】

[1]Aristotle.The works of Aristotle.vol.1.100a25---27.

[2]陈慕泽，于俊伟.数理逻辑基础---一阶逻辑与一阶理论[M].北京：中国人民大学出版社，2003：P34