浅谈一次函数的复习

犹大维

一次函数能较好地考查同学们的阅读理解能力、抽象概括能力、建模能力和判断决策能力，在复习的过程中，要梳理每个考点前后知识的联系，以便进一步巩固与提高所学知识. 例如一次函数在中考中共有5个考点：1. 一次函数定义；2. 一次函数图像和性质；3. 一次函数解析式的求法；4. 一次函数和方程（组）不等式的关系；5. 一次函数的应用. 而这5个考点就综合了一次函数和其他知识的联系，也体现了函数之间的区别和关联，更提高了书本知识和实际问题的应用.

现在我结合一次函数的复习谈谈自己对其中的两点看法.

1. 一次函数表达式的确定

（1）通过题目给出数量关系求出函数关系式；

（2）通过观察函数图像，根据一次函数图像上两点坐标列出二元一次方程组，求出k，b的值，求出一次函数表达式；

（3）由已知条件出发，通过建立数学建模求出一次函数表达式.

2. 一次函数的应用

在实际生活问题中， 一次函数的应用非常广泛，应用一次函数知识解题的关键是建立一次函数关系式. 用一次函数解决实际问题的步骤：（1） 在一些具体的生活问题中，数据往往较多，反映的内容也很复杂，所以要认真分析实际问题中变量之间的关系；（2）若具有一次函数关系（或告之变量之间成一次函数关系），则建立一次函数的关系式；（3） 根据一次函数的性质，综合方程知识求解.

在一次函数应用的过程中，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，舍去不符合题意的部分. 现举例简要说明，例：为迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文比赛活动，并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍. 已知一等奖奖品单价为12元，二等奖奖品的单价为10元，三等奖奖品的单价为5元.如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w元.

（1）求w与x的函数关系式；

（2）请你计算一下，如何购买这三种奖品所花的总钱数最少？最少是多少元？

解析 此题数据和术语很多：一、二、三等奖；不超过；2倍，10件；1.5倍；12元，10元，5元，50件等等，如何把众多的信息组织起来是解题的核心.

（1）当一等奖买x件时，则二等奖买（2x - 10）件，三等奖买[50 - x - （2x - 10）]件，整理得（60 - 3x）件.

因为 一等奖、二等奖、三等奖奖品的单价分别为12元、10元、5元，

故有w = 12x + 10（2x - 10） + 5（60 - 3x），

解得w = 17x + 200.

（2）因为比例系数k = 17 > 0，所以w随x的增大而增大，要求购买这三种奖品所花的总钱数最少，应先确定x的最小整数值.

因为购买三种奖品的件数都必须大于0，且三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，

所以有 x > 0，2x - 10 > 0，60 - 3x > 0，5（60 - 30x） ≤ 1.5 × 10（2x - 10）.

解之，10 ≤ x < 20. 因为x是最小整数，所以x = 10.

这时，w的最小值为17 × 10 + 200 = 370，2x - 10 = 10，60 - 3x = 30.

因此，当一等奖买10件，二等奖买10件，三等奖买30件时，所花的总钱数最少，最少钱数是370元.

总之，在复习一次函数相关知识点时，既要全面复习，又要重点突破，特别是利用一次函数有关知识建立数学建模去解决实际生活问题时所蕴涵的数学思想和数学方法，值得我们进一步研究.