初中数学中常见的最值问题

摘要：在初中阶段，最值问题一直是难点、重点。本文总结了初中阶段常见的最值问题：二次函数中的最值问题，一次函数中的最值问题，线段和求最小值等，并结合实际问题进行阐述分析。

关键词：最值；图像；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0151

函数是中学数学中最重要的概念之一，在初中阶段，一次函数和二次函数是讨论的重点。在近几年中考的压轴题都是出在最值问题中，而在二次函数的解题中考生往往对最值问题是最头疼。本文就二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值问题，一次函数的最值问题，以及几种常见的最值问题，以及最值的应用进行剖析。

一、一次函数中的最值问题

一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是直线，自变量x在全体实数范围内，图像没有端点，它是没有最大值或最小值的。但是，如果给定了自变量的取值范围，那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在，最值是图像的端点的纵坐标，图像包括端点就有最值，不包括端点就没有最值。

(1)如果n≤x≤m，图像包括两个端点，那么y=kx+b的图像既有最大值也有最小值(如图1)：当k＞0时，y最大=km+b，y最小=kn+b；当k＜0时，y最大=kn+b，y最小=km+b端点是图像的最值点，端点的纵坐标是最值。

(2)如果x≥n，图像只有一个端点，那么y=kx+b的图像只有最小值或最大值(如图2)：当k＞0时，y最小=kn+b；当k＜0时，y最大=kn+b。

同理，如果x≤m，那么y=kx+b的图像只有一个最大值或最小值(如图3)当k＞0时，y最大=km+b；当k＜0时，y最小=km+b。。

(3)如果n＜x＜m，图像不包括端点，那么y=kx+b的图像既没有最大值也没有最小值。

常见到的实际问题可以用这种方法解决：

例1. 某公司在A、B两地分别有一种机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台。从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；

(1)如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y(元)关于x(台)的函数解析式；

(2)若公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？

分析：因为费用和x之间是明显的一次函数，而且由于送往各地的机器数量是整数，所以x取值范圍不会是全体实数，所以是上述的第一种情况。我们可以求自变量的取值范围，找端点从而找到最值。

解：(1)总费用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300

⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥0∴3≤x≤17

∵k=500＞0，

∴y随x增大而增大，当x取最小值时，y有最小值。

∴x=3时，y最小值=500×3+13300=14800(元)

所以该公司完成以上调运方案至少需14800元运费。

调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台。

二、二次函数中的最值问题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线，二次项系数a的符号决定了图像的开口方向，图像的顶点坐标是(-■，■)，对称轴是直线x=-■。

1. 二次函数在自变量x取任意实数时的最值：

(1)当a>0时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，最小值是顶点的纵坐标■，图像无最大值；

(2)当a<0 时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值是■，图像无最小值。

2. 当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题就要看图像了，二次函数在自变量的取值范围内，对应的图象是抛物线上的一部分，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。

当m≤x≤n时，

(1)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■在自变量的取值范围内， 即m≤-■≤n

当a>0，抛物线开口向上，顶点是图像的最低点，顶点的纵坐标即是函数的最小值。图像的两个端点中(当x=m,x=n时)，哪个端点更高，哪个端点的纵坐标就是最大值。

当a<0，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点，顶点的纵坐标即是函数的最大值。图像的两个端点中(当x=m,x=n时)，哪个端点更低，哪个端点的纵坐标就是最小值。

(2)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■不在自变量的取值范围内，

即-■≤m≤n，或m≤n≤-■时，二次函数在自变量的取值范围内，对应的图象是抛物线上的一部分，y随着x的增大而增大，或者y随着x的增大而减小。那么，最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。如图：

例2. 当时-2≤x≤2，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

解：作出函数的图象。

当x=1时，y最小=4,当x=-2时，y最大=5。

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

例3. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x，30≤x≤54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元，

那么m件的销售利润为y=m(x-30)，又m=162-3x。

∴y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860，30≤x≤54。

(2)由(1)知对称轴为x=42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x=42时，ymax=-3×422+252×42-4860=432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元。

三、两条线段的和最短

例4.如图，MN是圆O的直径，MN=2，点A在圆O上，弧AN的度数为60°，点B为弧AN的中点，P是直径MN上的一个动点，求PA+PB的最小值。

分析：这是两个定点一个动点的问题，和圆的知识相综合。在圆上取A关于MN的对称点C，连接AC交MN于P，因为在MN上任取其他点Q时，在⊿ACP中，AQ+QC>AC，所以这时PA+PB最短。

四、动点产生的最值

例5. 如图，在半径是5的圆O中，弦AB=8，点C在AB所对的优弧上运动。连接AC，BC，求△ABC的最大面积。

分析：求△ABC的面积，先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明显是不变的，高是C点到AB的距离，随着动点C的运动先增大后减小，所以当C离AB的距离最大时，三角形的高最大，三角形的面积就最大。

解：当C运动到优弧AB的中点C′时，△ABC的面积最大。

连接C′O交AB于D，连接OB，

∵C′是弧AB的中点，C′D过圆心

∴C′D⊥AB，AD=BD=4

在RT△BOD中，OB=5，

∴AD=3

∴C′D=3+5=8

∴△ABC的最大面积=■AB×C′D=32

作者简介：李贺，任教于内蒙古包钢实验中学，中学一级教师，在一线从事教学工作12年。