初中数学中常见的最值问题

2014-04-29 00:26李贺
中学课程辅导·教学研究 2014年16期
关键词:最值图像应用

摘要:在初中阶段,最值问题一直是难点、重点。本文总结了初中阶段常见的最值问题:二次函数中的最值问题,一次函数中的最值问题,线段和求最小值等,并结合实际问题进行阐述分析。

关键词:最值;图像;应用

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)06-0151

函数是中学数学中最重要的概念之一,在初中阶段,一次函数和二次函数是讨论的重点。在近几年中考的压轴题都是出在最值问题中,而在二次函数的解题中考生往往对最值问题是最头疼。本文就二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值问题,一次函数的最值问题,以及几种常见的最值问题,以及最值的应用进行剖析。

一、一次函数中的最值问题

一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是直线,自变量x在全体实数范围内,图像没有端点,它是没有最大值或最小值的。但是,如果给定了自变量的取值范围,那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在,最值是图像的端点的纵坐标,图像包括端点就有最值,不包括端点就没有最值。

(1)如果n≤x≤m,图像包括两个端点,那么y=kx+b的图像既有最大值也有最小值(如图1):当k>0时,y最大=km+b,y最小=kn+b;当k<0时,y最大=kn+b,y最小=km+b端点是图像的最值点,端点的纵坐标是最值。

(2)如果x≥n,图像只有一个端点,那么y=kx+b的图像只有最小值或最大值(如图2):当k>0时,y最小=kn+b;当k<0时,y最大=kn+b。

同理,如果x≤m,那么y=kx+b的图像只有一个最大值或最小值(如图3)当k>0时,y最大=km+b;当k<0时,y最小=km+b。。

(3)如果n<x<m,图像不包括端点,那么y=kx+b的图像既没有最大值也没有最小值。

常见到的实际问题可以用这种方法解决:

例1. 某公司在A、B两地分别有一种机器17台和15台,现在运往甲地18台、乙地14台。从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表;

(1)如果从A地运往甲地x台,求完成以上调运所需总费用y(元)关于x(台)的函数解析式;

(2)若公司请你设计一种最佳调运方案,使总的费用最少,则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用?为什么?

分析:因为费用和x之间是明显的一次函数,而且由于送往各地的机器数量是整数,所以x取值范圍不会是全体实数,所以是上述的第一种情况。我们可以求自变量的取值范围,找端点从而找到最值。

解:(1)总费用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300

⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥0∴3≤x≤17

∵k=500>0,

∴y随x增大而增大,当x取最小值时,y有最小值。

∴x=3时,y最小值=500×3+13300=14800(元)

所以该公司完成以上调运方案至少需14800元运费。

调运方案为:由A地运往甲地3台,运往乙地14台;由B地运往甲地15台。

二、二次函数中的最值问题

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线,二次项系数a的符号决定了图像的开口方向,图像的顶点坐标是(-■,■),对称轴是直线x=-■。

1. 二次函数在自变量x取任意实数时的最值:

(1)当a>0时,抛物线开口向上,函数在顶点处取得最小值,最小值是顶点的纵坐标■,图像无最大值;

(2)当a<0 时,抛物线开口向下,函数在顶点处取得最大值,最大值是■,图像无最小值。

2. 当自变量x在某个范围内取值时,函数的最值问题就要看图像了,二次函数在自变量的取值范围内,对应的图象是抛物线上的一部分,那么最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值。

当m≤x≤n时,

(1)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■在自变量的取值范围内, 即m≤-■≤n

当a>0,抛物线开口向上,顶点是图像的最低点,顶点的纵坐标即是函数的最小值。图像的两个端点中(当x=m,x=n时),哪个端点更高,哪个端点的纵坐标就是最大值。

当a<0,抛物线开口向下,顶点是图像的最高点,顶点的纵坐标即是函数的最大值。图像的两个端点中(当x=m,x=n时),哪个端点更低,哪个端点的纵坐标就是最小值。

(2)若顶点的横坐标(或对称轴)x=-■不在自变量的取值范围内,

即-■≤m≤n,或m≤n≤-■时,二次函数在自变量的取值范围内,对应的图象是抛物线上的一部分,y随着x的增大而增大,或者y随着x的增大而减小。那么,最高点的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值。如图:

例2. 当时-2≤x≤2,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值。

分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。

解:作出函数的图象。

当x=1时,y最小=4,当x=-2时,y最大=5。

在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题:

例3. 某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,30≤x≤54。

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式;

(2)若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?

解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元,

那么m件的销售利润为y=m(x-30),又m=162-3x。

∴y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860,30≤x≤54。

(2)由(1)知对称轴为x=42,位于x的范围内,另抛物线开口向下

当x=42时,ymax=-3×422+252×42-4860=432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润,最大销售利润为432元。

三、两条线段的和最短

例4.如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,弧AN的度数为60°,点B为弧AN的中点,P是直径MN上的一个动点,求PA+PB的最小值。

分析:这是两个定点一个动点的问题,和圆的知识相综合。在圆上取A关于MN的对称点C,连接AC交MN于P,因为在MN上任取其他点Q时,在⊿ACP中,AQ+QC>AC,所以这时PA+PB最短。

四、动点产生的最值

例5. 如图,在半径是5的圆O中,弦AB=8,点C在AB所对的优弧上运动。连接AC,BC,求△ABC的最大面积。

分析:求△ABC的面积,先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明显是不变的,高是C点到AB的距离,随着动点C的运动先增大后减小,所以当C离AB的距离最大时,三角形的高最大,三角形的面积就最大。

解:当C运动到优弧AB的中点C′时,△ABC的面积最大。

连接C′O交AB于D,连接OB,

∵C′是弧AB的中点,C′D过圆心

∴C′D⊥AB,AD=BD=4

在RT△BOD中,OB=5,

∴AD=3

∴C′D=3+5=8

∴△ABC的最大面积=■AB×C′D=32

作者简介:李贺,任教于内蒙古包钢实验中学,中学一级教师,在一线从事教学工作12年。

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