数学建模：解决问题的思维路径

引领学生思维不断数学化是解决问题教学的重中之重。引领学生思维数学化的过程，其实就是思维训练的过程，在教学中完全可以通过引导学生建构数学模型来达成。在教学实践中，教师可以通过“挖掘生活原型——简化问题表述——建立数学模型”三个步骤，引导学生将生活问题“数学化”、数学问题“模式化”，主动建构起有利于解决问题的数学模型，形成解决问题的策略，使学生学会“数学地思维”，彰显数学思维的理性美。

一、聚焦：解决问题策略教学现状引发的思考

解决问题是20世纪80年代以来国际数学教育界提出的一个重要概念，美国数学教师理事会曾经提出：解决问题必须处于学校数学教学的中心。《数学课程标准》明确指出：“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样化，发展实践能力和创新精神。”因此，运用学过的数学知识和技能解决实际问题，是小学数学教学的重要目标之一。

苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》教材依据新课标的精神，在第一学段的编排中，让学生初步积累一定的解决问题的经验，初步了解同一数学问题可以有不同的解决方法。为了帮助学生把解决问题的一些具体经验上升为理性的数学思考和数学经验，提高学生理解策略的有效性和灵活运用策略解决问题的能力，从第二学段四年级上册开始，教材每册编排一个单元，相对集中地介绍基本的解决问题策略。这样编排，进一步突出了解决问题方法的选择、计划和运用，再通过对方法的反思、内化，促进策略的形成。

苏教版教材编排特点鲜明，立意明确，使得教师对“解决问题”的教学更加重视，也促进了教师对“解决问题”的教学进一步钻研。近年来，笔者经常在校内的教研活动、省市级的竞赛活动和研讨活动中聆听到教师就“解决问题”这一专题的公开教学。其中不乏有很多优秀的课例，但也存在一些问题，比如解决问题策略的选择、使用及推广成为教师钻研教材、精心展示的重点，而学生在练习中却常常是直接列式解答，并未使用策略，这使得课堂上所谓的层层递进、精彩纷呈仅仅停留于形式而已，并未深入学生的思维，并没有提高学生的策略意识，改变学生的思维模式。这样的现象引发了笔者深深的思考，解决问题策略的教学重点究竟该如何定位？在教学的过程中究竟要让学生习得什么？能不能仅仅停留于解决问题？策略选择与运用的背后还有些什么？

二、剖析：数学建模是解决问题的思维路径

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，它是通过数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程。李胜平指出，数学问题解决是利用解题者原数学信息库中的信息，将数学问题输入条件信息进行处理、编码、加工，采取一定的思维对策，运用运算来改变系统的初始状态，使之改变为目标状态，使得系统从不稳定系统状态转化为稳定系统状态的这样一个思维过程。[1]由此可见，引领学生思维不断数学化是解决问题教学的重中之重。

引领学生思维数学化的过程，其实就是思维训练的过程，在教学中完全可以通过引导学生建构数学模型来达成，因为数学建模是现实与数学相互联系的桥梁，它既体现了数学在现实世界中固有的意义，也体现了现实世界蕴涵独特的数学规律和模式，历史上数学与现实正是通过建模这一纽带相互依存，相互促进，并相互转化的。所以，对于学生而言，数学建模就是一个学数学、用数学和巩固数学的过程，它是一种高水平的数学思维活动，是数学能力的重要组成部分。[2]

所谓数学建模，就是指对现实问题进行简化，从中抽象和归纳出能反映问题基本特征和要素及其关系的数学结构，并应用数学思想方法对数学结构进行分析、求解和检验，以获得现实问题答案的过程。[3]数学建模是解决现实问题的一个重要或关键的手段，其过程是一个综合性的过程，是数学能力和其他各种能力协同发展的过程。

数学建模作为数学学习的一种新的方式，它有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程。[4]学生在建模思想的引领下，举一反三、融会贯通、创造性地学习，掌握数学知识、技能的同时，学会数学思想方法，获得数学活动经验，在数学文化的熏陶中茁壮成长。

三、实践：探寻数学建模与解决问题的桥梁

带着思考，笔者积极地在教学中加以实践，下面就以《解决问题的策略——倒推》的教学为例，谈谈如何架起数学建模与解决问题的桥梁。

1.原型唤醒，提供贴近儿童经验的学习背景

数学本是对现实生活的一种抽象，而数学模型更是在多次抽象后的结果，这就使之离学生有了一定距离。[5]因此，教师要想方设法缩小“学生起点”与“数学模型”之间的距离或者搭起两者之间的桥梁，为学生的数学学习寻找实际生活的“原型”。

【课例】

谈话：同学们，听过小猫钓鱼的故事吗？小猫蓝蓝和红红克服了三心二意的缺点，一心一意地钓起鱼来，不一会儿，就有了收获。可是，他们的钓鱼线缠在了一起，究竟是哪只小猫钓到了这条红色的大鱼呢？

出示：小猫蓝蓝和红红钓鱼的情境图。

讨论：你是怎样找到问题的答案的？

预设1：从小猫的鱼竿出发，沿着钓鱼线去找鱼。

预设2：从鱼出发，倒回去找到是哪只小猫钓到的。

小结：从小猫出发，顺着钓鱼线，可以找到鱼；从鱼出发，倒过来想，可以找到小猫。这一顺一倒就是两种不同的数学思维方式。

出示：

从学生熟悉的故事——小猫钓鱼入手，激活学生的生活经验，让学生在解决类似于“走迷宫”式的趣味问题中，初步建立“顺”和“倒”的模型，初步感知顺向思考与逆向思考两种数学思维方式，为新课学习做好铺垫。小猫钓鱼的故事为学生找准了知识“原型”，当然这只是数学教学中的一种隐喻，教师在此基础上用方框加箭头的形式将故事加以提升，挖掘出更为深刻的“顺”和“倒”的模型，这才从真正意义上为学生找准了学习的起点，引导学生逐步走向数学抽象。

2.问题简化，设计贴近儿童思维的过渡环节

要建立数学模型，首先必须对实际原型有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使建模者对实际问题进行简化。由于小学生的生活经历有限，对一些实际问题的了解比较含糊，因此，教师要贴近学生思维的教学环节，引导学生对实际问题进行合理的归纳、抽象，加以适当的简化，并用恰当的形式表达出来，即学会对问题中的各项因素进行分析，找出各因素之间的关系，用数学语言进行表述和解释。

【课例】

谈话：小猫蓝蓝收获很大，不一会儿，就钓到了12条鱼，可是他肚子饿了，就拿起2条小鱼当点心，那么现在他的鱼筐里有几条鱼呢？

学生口述想法并列出算式，教师引导学生将蓝蓝钓鱼的故事情节发展用如上图的方框和箭头进行整理：

小结：顺着蓝蓝钓鱼故事情节的发展，用减法顺利求出了蓝蓝现在有几条鱼。

谈话：接着，我们再来看红红钓鱼的故事。红红也钓到了不少鱼，可是她悄悄和蓝蓝一比，发现还是不如蓝蓝，于是她不甘示弱，又钓了2条鱼，现在她的鱼筐里有10条鱼，你知道她原来钓了几条鱼吗？

学生模仿上题用方框和箭头进行整理：

引导学生说说怎么想，出示：

小结：回顾刚才解决红红钓鱼的问题，我们先顺着故事情节的发展，用方框和箭头整理了信息，然后倒过来推想，算出了原来红红钓了几条鱼。倒过来推想，是一种解决问题的策略，今天我们就一起来学习这种解决问题的策略。（板书课题）

在本课中，小猫钓鱼的故事不但是一个引子，它还被开发成整个教学活动的线索。在此环节中，教师为故事的主人公蓝蓝和红红设计一个简单的数学问题，引导学生将故事情节中的信息转化成方框加箭头的框式图的形式，指导整理条件问题的方法，使学生感受到用框式图能更为简洁明了地表达出故事情节的发展变化，为进一步的数学抽象、数学建模埋下伏笔，打好学习的基础。同时，这两个简单的数学问题正好为引入新课的“顺”和“倒”的模型提供了两个具体的例子，起到了承上启下的作用。

3.模型建构，创设促进思维抽象化的教学程序

引导学生建立数学模型的过程，实际上就是引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示事物之间的关系，提炼数学信息，学会把现实中的问题通过语言抽象，抽象成一个科学的东西，然后在语言抽象的基础上进行符号抽象，抽象成一个数学的东西，这个过程对小孩子是非常重要的。[6]教师在教学中要努力创设能够促进学生思维抽象化的教学程序，层层递进，引导学生在学习的过程中，深深地感悟到数学思维的抽象美，感悟到数学建模的文化价值所在，汲取求真求知的力量。

【课例】

（1）教学例题1，建立解决一步倒推问题的模型

谈话：经过一天的努力，蓝蓝和红红一共钓到40条鱼，蓝蓝给红红4条鱼，现在两人钓到的鱼同样多。原来两人各钓到多少条鱼？（出示情境图）

提问：你了解了哪些数学信息？怎么理解“现在两人钓到的鱼同样多”？你能将这些数学信息用方框和箭头的方式进行整理吗？

交流，出示：

蓝蓝：

红红：

讨论：“蓝蓝给红红4条”怎么理解？蓝蓝的鱼怎么变化了？红红的鱼呢？用更为简洁的数学符号怎么表示这样的变化？

进一步简化：

蓝蓝：

红红：

提问：看图说说，解决这个问题，你是怎么想的？

讨论中强调倒推的过程，并出示图：

蓝蓝：

红红：

学生独立列出算式，说说每一步算出的表示什么意思。

提问：算出的结果是否正确？如何检验？

教师指导学生将结果代入上图的“？”，顺推检验。

提问：同学们，回想一下解决这个问题的过程，我们是怎么做的？先求出什么？（现在蓝蓝和红红各钓到几条鱼）然后怎样？（用方框和箭头整理信息，并简化成数学符号）再怎么想？（倒过来想，算出原来蓝蓝和红红各钓到几条鱼）最后要干什么？（检验）

小结：从现在出发，倒过来推想，求出原来。这是一种解决问题的策略，在数学上我们把它叫做倒推策略。（板书，完善课题）

（2）教学例题2，建立解决两步倒推问题的模型

谈话：第二天，猫妈妈把孩子们和爸爸钓到的鱼，拿到集市上去卖。上午卖出30条，下午猫爸爸又送来24条，现在猫妈妈有52条鱼。猫妈妈原来有多少条鱼？

提问：这个问题你准备用什么策略来解决呢？为什么？

学生独立用方框和箭头整理条件和问题，再倒过来推算。

出示两种整理的方法，沟通文字和数学符号的联系：

提问：看图说说，解决这个问题，你是怎么想的？

讨论中强调倒推的过程，并出示图：

学生独立列出算式，说说每一步算出的表示什么意思。

提问：算出的结果是否正确？如何检验？

教师指导学生将结果代入上图的“？”，顺推检验。

提问：还有不同的算法吗？

分析：这种算法有没有用倒推的策略呢？

出示：

小结：这种解题思路，实际上就是把两次变化的过程合并成一次变化，把两次倒推变成一次倒推。

（3）对比沟通联系

提问：同学们，刚才我们帮助小猫解决了两个问题。在解决这两个问题的过程中，都用到了什么策略？为什么这两道题都要用倒推策略呢？

小结：像这样，已知现在，未知原来的题目，我们就可以用倒推策略。

提问：回顾一下，刚才我们解决问题的过程，我们是怎么做的？

小结：用倒推策略解决问题，先整理条件和问题，再一步一步地倒推，最后进行检验。

提问：倒推的过程中要注意什么？

小结：从现在出发，根据变化的顺序，一步一步地有序倒推，倒推过程和变化过程恰好相反。

在教学中，引导学生将框式图进一步抽象，初步建立倒推策略的模型，分两个层次展开。首先，教学例题1，引导学生将文字表达的框式图，舍弃次要因素，抽象出既简洁又准确的纯数学符号表达的框式图，初步建构起数学符号归纳的模式。这种纯数学符号的框式图，更利于学生厘清倒推的过程、方法，形成技能。其次，教学例题2时，引导学生主动探究两步倒推问题，让学生用自己喜欢的框式图整理信息，在汇报比较中进一步沟通文字和数学符号的联系，优化方法。此时，教学的重点转向倒推策略本身，引导学生细细体会倒推的起点、顺序、方法，并在方法多样化的比较中，进一步体会倒推策略的基本特点，从而促进学生掌握基本方法。

在整个教学过程中，笔者不但注重引导学生建构数学模型，还注重引导学生建构学习模型，也就是渗透学法指导，帮助学生掌握解决倒推问题的基本步骤和方法。在教学中，以框式图为载体，引导学生经历“抽象——倒推——检验”的过程，即用框式图抽象出数学问题，用框式图来经历倒推过程，用框式图来顺推检验结果是否正确，让学生获得基本的数学活动经验，建立起解决这一类问题的模型，体会“顺”和“倒”的互逆关系。

在《解决问题的策略——倒推》的教学中，笔者通过“挖掘生活原型——简化问题表述——建立数学模型”三个步骤，引导学生将生活问题“数学化”、数学问题“模式化”，主动建构起有利于解决问题的数学模型，形成解决问题的策略，培养学生解读、分析、综合、抽象、简化信息等多种能力。数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位，它有助于学生学会“数学地思维”，有助于提升学生解决问题的能力，有助于促进学生的个性成长。

参考文献：

[1]俞平，连四清，武锡环.中国数学教育心理研究30年[M].北京：科学出版社，2011：46-47.

[2][3]林崇德.智力发展与数学学习[M].北京：中国轻工业出版社，2011：410.

[4]于荣华.建模视野下的有效数学教学[J].中小学教师培训，2010（11）.

[5]许贻亮.为学生数学模型的建构做两道“减法”[J].小学数学教育，2013（1-2）.

[6]史宁中.注重“过程”中的教育——《义务教育数学课程标准》修订的若干思考[J].人民教育，2012（7）.

（杨明媚，苏州市城西中心小学，215000）

责任编辑：赵赟