“简单美”的典范

李开国

在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为简单多面体的顶点数（[V]）与面数（[F]）之和减去棱数（[E]）是一个不变的量2。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

公式：V+F-E=2

我们知道，多边形中正多边形有无数种，但为什么在多面体中只有五种正多面体呢？古希腊的毕达哥拉斯学派曾经对正多面体进行过很多研究，因为在柏拉图的唯心主义体系中，正多面体被认为是可以作为宇宙基石的最简单的理想物体。这些结果都被收入在了《几何原本》中，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

古希腊数学家欧几里得曾尝试证明在多面体中只有这五种正多面体，但没有成功。随后很长一段时间内，又有很多数学家采用各种方法想要给出证明，但均以失败告终。可见对于这一问题的证明方法，完全不同于我们平时所习惯的几何证明方法。它不是依靠可以度量的量（长度、面积、体积、角度等），而是依靠简单的算术量——多面体的面数、棱数和顶点数之间的内在数量关系，即简单多面体的欧拉公式来解决的。

17世纪法国著名数学家、解析几何之父笛卡尔已经注意到，任意的封闭多面体的面、棱、顶点的数目之间存在一定的关系。1639年，笛卡尔通过考察图中的五种正多面体，采取不完全归纳法猜测到，顶点数与面数之和减去棱数是一个不变的量2。也就是说：[V+F-E=2]。后来，笛卡尔对多个简单的多面体进行了验证，发现都符合自己的猜想，但是他没法给出严格的证明，也没有将此猜想公开发表。

1751年，数学家欧拉在研究如何将多面体进行分类时，独立地发现了这个公式，并给出了一个证明。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个公式就被称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。1811年，法国数学家柯西利用不变量的理论，重新给出了完整的证明。

欧拉给出的公式：[V+F-E=2]，描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间的特有规律，堪称“简单美”的典范。数学上的多面体到底有多少种，没有人能说清楚，但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须满足欧拉公式。一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人赞叹不已。

实际上欧拉公式除了适用于简单多面体以外，也适用于非简单多面体。[fp=V+F-E]，其中[fp]叫做欧拉示性数，即简单多面体[fp=2]。根据欧拉示性数的不同，可以对多面体进行分类。例如，将长方体内部挖去一个小的长方体，形成一个洞，其欧拉示性数[fp=16+16-32=0]，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

过去人们研究的几何问题主要涉及长度、角度、距离、周长、面积、体积等度量，而欧拉公式与度量无关，它的背后是一门新的几何学。这就是由德国数学家莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形的尺寸大小。如今这门学科已经发展成数学的一个重要分支——拓扑学，即非度量的几何学。

欧拉公式作为拓扑学史上的第一定理，其证明方法是新颖而巧妙的，与我们所熟悉的度量的几何学证明大不相同。有兴趣的同学可以利用欧拉公式证明一下，为什么多面体中只有五种正多面体。