对一道直线族包络试题的探究

张晓阳

2014年高中数学联赛安徽初赛第7题：设动点P（t，0），Q（1，t），其中参数t∈[0，1]，求线段PQ扫过的平面区域的面积.

设线段PQ扫过的平面区域为G，点P在x轴上运动，点Q在直线x=1上运动，所以x轴和直线x=1是区域G的边界，解决问题的关键是获得区域G的其他边界.既然是区域边界，必然可以用关于x，y的不等式表示.所以可以考虑使用不等式消去t.

解法一：直线PQ的方程为t（x-t）-（1-t）=0，参数t∈[0，1].

以上三种解法关键都在于求出直线族的包络曲线方程，解法一需要一定的不等式技巧，解法二最简短，但是如果曲线族方程不是关于t的二次式，要解析“包络上任意一点使关于t的方程f（x，y，t）=0有且只有一解”就有一定的难度，解法一和二相对初等，而解法三需要用到极限思想或者导数知识.

在日常教学和解题过程中，有很多试题让我们有“感觉”，如果深入剖析，持续不断地思考，就必将可以使我们对问题有更深刻的认识，使思维得到历练.以上是笔者在探究本文问题过程中的感受.