不等式的证明方法与小结

陈芙蓉

摘 要 在中学数学中，不等式的证明始终为一难点。究其原因，是因为证明没有固定程序可循，技巧多样，方法灵活，难度较高。为此，本文通过对不等式证明方法的总结（并举例予以说明），让学生更好的掌握各种证明方法的实质及其适用范围。

关键词 不等式 方法 证明

不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，也是中学数学的一个重要课题。它揭示了现实生活中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的作用。就知识间的内在联系而论，不等式也是进一步学习函数方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的知识。本文，将就不等式学习中的难点——不等式的證明方法探讨一下。

一、比较法证不等式

比较法是证明不等式的最基本最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算顺序的直接运用。比较法可分为差值比较法（简称求差法）和商值比较法（简称求商法）两种。

（1）差值比较法

差值比较法的理论依据是不等式的性质：“ ”，其一般步骤为：1）作差：察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体；2）变形：把不等式两边的差进行变形。或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个的平方等等（其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段）；3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。

商值比较法的理论依据是：“若”，其一般步骤为：1）作商：将左右两边作商；2）变形：化简商式到最简形式；3）判断商与1的大小关系（就是判断商大于1或小于1）。

二、分析法证不等式

分析法是指从需证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

用分析法证明的逻辑关系为：。书写的模式是为了证明命题B成立，只需证明命题为真，从而有……，这只需证明为真，从而又有……，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证明模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

三、综合法证不等式

综合法是利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式。其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

四、反证法证不等式

有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑。即要证明不等式A > B，先假设，由题设及其它性质推出矛盾，从而肯定A > B。

五、换元法证不等式

换元法是对一些结构比较复杂，变量比较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，这时可引人一个或几个变量进行代换以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。

六、放缩法证不等式

放缩法是要证明不等式A < B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的依据主要有：

不等式的传递性；

等量加不等量为等量；

同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较

七、数学归纳法证不等式

用数学归纳法证不等式主要是证明一些与自然数有关的不等式。

八 利用已知不等式法证不等式

用已经成立的不等式来证明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我们学习中，常用的几个重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它们，在我们证明不等式的过程中是十分必要的。

以上是不等式证明中常用的几种方法，分别予于了说明。但由于关于不等式证明的问题其题型多变、技巧性强，加上无固定的规律可循，所以在对一题的证明中，往往不是用一种方法就能解决，而是各种方法的灵活运用，因此难度较大。本文是对不等式证明方法的终向剖析，要想更好的了解不等式的证明，也需要我们将其证明方法横向比较，较其优劣，争取在解题中寻找较简便的方法。

参考文献：

[1]不等式证明常用技巧[J].数学教学研究，1995.02.

[2]徐飞.不等式证明中的构造方法[J].数学通报，1981.03.

[3]赵云龙.不等式证明的几种常用类型及方法[J].天津教育，1995.02.

[4]雷小平.证明不等式的常用方法[J].太原科技，2002.01.

（作者单位：湖北省襄阳职业技术学院）