“电路”与“振动力学”的类比教学方法研究

郭空明 徐亚兰

摘要：“电路”和“振动力学”均为机械类专业的核心课程。这两大类课程从数学概念上存在许多相似性。结合多年教学经验，以课程中一些概念的数学相似性为例，对这两门课的类比教学进行了探索，并在教学中采用类比教学方法，发现这种方法不但可以提升教学效果，而且可以使学生的理解提升到数学层面上，从而使其知识的深度和广度都得到加强。

关键词：教学方法;电路;振动力学;类比

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）33-0054-02

“电路”与“振动力学”是绝大多数机械类专业的核心课程。其中，“电路”课程包括静态电路和动态电路两部分，即状态不随时间变化的电路和状态随时间变化的电路。力学类课程也分为静力学、动力学两部分，即状态不随时间变化的力学系统和状态随时间变化的力学系统。与静力学学科如“材料力学”相比，“振动力学”由于考虑了系统的惯性，系统的位移、速度等都是随时间变化的，因而是一门动力学学科。

在动态电路和振动力学中，系统的数学模型都是以时间为变量的微分方程。对于离散系统（集总参数电路、单自由度及多自由度力学系统），方程为常微分方程或常微分方程组，对于连续系统（分布参数电路、连续介质力学系统），由于系统的状态不仅与时间有关，还与空间有关，系统的数学模型满足偏微分方程，即方程中既有对时间求导项，又有对空间求导项。所以，“电路”与“振动力学”的许多概念从数学原理上都是相通的，目前已有一些学者提出了这一点。[1，2]

由于机械类学生对微分方程的知识仅在“微积分”课程中有一些粗浅认识，因此这两门课对其而言具有一定的难度。由于学生要先后学习这两门课（一般是先学习“电路”，再学习“振动力学”），若在后一门课程的教学中使用前一门课程的概念进行类比，可以使学生触类旁通，一方面更容易接受新课程的内容，另一方面也深化了对物理概念背后数学原理的认识。笔者在“振动力学”课程中将概念与“电路”进行类比显著提升了教学效果。下面针对这两门课的可类比性，试举几例。

一、回路电流法标准形式与刚度矩阵的类比

回路电流法是一种求解电阻电路的方法，这种方法虽然一般应用于静态电路（如果引入阻抗的概念，也可以应用于动态电路稳态分析），但是由于“振动力学”中刚度矩阵的建立实际上也是基于静力学原理的，所以从下文可以看出，这两种方法有一定的相似性。

首先介绍回路电流法。对于具有n个独立回路的“电路”，回路电流法的标准形式为[3]：

写成矩阵形式则为：

其中：

（1）

式（1）中，对角线上的元素为各回路的自电阻，总为正值。自电阻的物理意义为：某一回路有单位电流流過时，单位电流在该回路产生的电压。非对角元素为各回路之间的互电阻，若流过互电阻的两个回路电流方向相同，则此互电阻为正，否则为负。互电阻的物理意义为：某一回路流过单位电流时，该单位电流在另一回路产生的电压。

而振动力学中，具有n个独立自由度的力学系统，其刚度矩阵的标准形式为[4]：

（2）

式（2）中，对角线上的元素为在某一自由度施加单位力时该自由度产生的位移，显然这个值总为正值。非对角元素为在某一自由度施加单位力时，另一自由度产生的位移，若位移与力的方向相同，则为正值，反之为负。

通过对公式（1）和（2）形式上的比较和物理意义的解释，可以看出这两个矩阵在数学形式上相同，物理概念上相似。显然，此时电路中的独立回路可以与力学中的独立自由度进行类比，此时电流对应力学中的力，电压对应力学中的位移。因此，在学生先修过“电路”的情况下，在“振动力学”的教学中可以通过类比的方法使学生迅速掌握刚度矩阵的建立方法以及理解其本质，这样可以显著提高教学效率。

二、二阶电路零输入响应与单自由度阻尼自由振动的类比

力学中的单自由度系统需要用二阶微分方程描述，二阶电路亦然。因此两者具备可类比性。限于篇幅，这里只考虑系统模型为齐次微分方程的情况，也就是电路系统和力学系统都不存在激励，分别对应二阶电路的零输入响应和单自由度系统的阻尼自由振动。

首先考虑电路系统。RLC串联振荡电路为典型二阶电路，设回路中电流为i，为了更好地从形式上与振动力学系统进行比较，将电流写成电量q对时间的一阶导数，即以电量q为基本变量，则其满足方程（3） [3]：

（3）

而对于有阻尼单自由度系统，其位移x满足方程（4）：

（4）

显然方程（3）和（4）具有数学形式上的相似性。可以看出，若分别以电路的电流和单自由度系统的为位移为变量，则电路的电感对应于力学系统的质量，电路的电阻对应于力学系统的阻尼器，电路电容的倒数对应于力学系统的刚度。

对于电路系统，振荡的原因在于电感存储的磁能与电容存储的电能互相交换，而电阻起耗散能量的作用。对于力学系统，振动的原因在于质量拥有的动能与弹簧存储的弹性势能互相交换，而阻尼器起耗散能量的作用。从表1中可以清楚地看出两种系统中存在的对应关系：

表1 二阶电路与单自由度振动系统的各物理量类比

二阶

电路 电量q 电流 磁能 电能 电阻功率

固有频率

单自由度振动系统 位移x 速度 动能 势能 阻尼单位时间内耗能 固有频率

因此，在处理二阶电路和单自由度振动时，有很多方法的本质都是相同的。如求解电路任意激励下响应的卷积积分法和求解单自由度系统在任意激励下响应的杜哈梅积分法、求解简谐激励下电路稳态响应的相量法以及求解简谐激励下单自由度系统稳态响应的复指数法，等等。在教学中，通过建立类比可以使学生迅速理解相关概念、掌握相关方法，从而达到事半功倍的教学效果。

三、均匀传输线与杆的纵向振动的类比

由于许多机械类学科并未开设“数学物理方程”课程，在“微积分”课程中也未有提及这部分内容，因此由偏微分方程描述的连续系统对于学生而言一直是最大的难点。电路中的均匀传输线和振动力学中连续介质的振动均由偏微分方程描述，其中，无损耗傳输线和杆的纵向振动具有数学上的相似性，均为一维波动方程。

下面首先考虑无损耗均匀传输线。设无损耗均匀传输线单位长度电感、电容分别为L0和C0，则其电压、电流的变化规律一般写成如下的偏微分方程[3]：

（5）

（6）

式（5）和（6）可以整理为标准一维波动方程的形式。将式（5）对空间尺度x求偏导，可得：

（7）

式（6）对时间t求偏导并乘以L0，可得：

（8）

式（7）和（8）相减，可得：

（9）

而对于密度为ρ、弹性模量为E的等截面直杆，其纵向位移χ满足偏微分方程：

（10）

对比（9）和（10）可以发现，无损耗均匀传输线和杆的纵向振动在数学模型上是一致的，均为一维波动方程。（9）和（10）右端项系数的平方根分别为电压的相速度和纵波在杆内传播的速度。这两个方程均可以使用经典的分离变量法进行求解。在教学中，通过两者的类比归纳总结出一维波动方程的普遍性质和求解方法不但可以使学生迅速掌握繁杂的数学公式，而且使学生对公式的认识提高到一个具有普遍意义的层面。

四、结论

本文针对“电路”和“振动力学”中数学原理的相似性，提出了类比教学方法的概念。通过在课堂上引入类比教学的方法，首先可以使学生基于旧知识迅速掌握新知识，其次可以使学生在学习新课程时对已修课程的知识进行巩固和深化理解，最后还可以使学生对物理概念的认识升华到数学原理的层面。从宏观层面，类比教学方法可以优化课程结构，避免相似数学原理在不同课程中的重复讲解，可以使学生对广泛知识的认知水平得到提高，也会提升工科类学生的数学修养。类比教学方法不仅适用于文中提到的两门课程，也适用于所有具有相同或相似数学概念的课程，因此具有巨大的推广价值。

参考文献：

[1]梁立孚.飞行器结构动力学中的几个问题[M].西安：西北工业大学出版社，2010.

[2]Preumont.Mechatronics：Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric Systems[M].Springer，2006.

[3]邱关源.电路[M].第五版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]刘延柱.振动力学[M].第二版.北京：高等教育出版社，2011.

（责任编辑：王祝萍）