初中数学“数学思想”的渗透与实践

杨越

【摘要】数学常见的思维主要有：对应、假设、比较、类比、分类、转化、数形结合和变与不变等思想。在平时的数学教学及学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，并在解题中不断渗透，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，不断总结，以提高教学及解决问题的有效性。

【关键词】初中数学教学数学思想渗透与实践

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711（2014）04-061-01

数学思想方法是从一般的数学知识中提炼出来的精髓，是数学科学建立和发展的灵魂，是将数学知识转化为数学能力的桥梁，也是分析和解决数学问题的基本思路。数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，在教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习和做题演练中而展开的。下面介绍数学教学中的几种常用“数学思想与方法”：

一、数形结合思想

数形结合的思想主要是构建数与形之间的关系，通过以形助数、以数助形和数形互助，充分地将直观和抽象统一融合，达到灵活解题的目的。著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合千般好，数形分离万事休。”说得真好，这句话很形象地说明了数形结合的重要意义。数和形是问题的抽象与概括，图形和图像则是问题的具体化与直观化。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可以分为两大类型，或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”。如：

反比例函数y=■（k为常数，k≠0）。

k有着众多的功能。如：（1）k决定横、纵坐标的乘积；（2）k的符号决定双曲线分布的象限；（3）k的符号决定双曲线在每个象限的增减性；（4）k的绝对值决定坐标轴三角形和坐标轴矩形的面积。

二、类比思想

类比是将看起来无关，甚至差距相差甚远的现象进行合理分析，总结出类似的解决思路。可以说类比是一种在不同的对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们的某些方面如特征、属性、关系等）的相似之处进行比较，通过联想和猜想，推断出它们在其它方面也可能相似，从而建立猜测和发现真理的方法。在平时数学教学中，类比可以帮助同学们利用已有的知识来认识、理解和掌握新知识。

又如在教学“分式和最简分式的概念”时，通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义。分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，都是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解，因此本章在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。从学情分析来看，经过七年级一年的学习，学生初步养成了自主探究意识。

三、转化思想

转化思想是将要研究和解决的问题转化为另一个容易解决的问题或已经解决的问题，即把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“抽象”转化为“具体”的思想方法。在解答数学问题时，如果直接求解比较困难时，就可以将其转化为另一种形式求解。如：

已知函数y=3x-5，求当■＜x≤3时，函数的取值范围。

此题由一次函数的解析式y=3x-5，可以把关于x的不等式■＜x≤3转化为关于y的不等式，从而求得y的取值范围。

在不少数学问题的解决中，转化思想成了一种很适用的解题技巧。转化思想注重把注意力和着眼点放在问题的结构上，透过现象看本质，适时地调整和改变原有的思维方式，以求得问题的解决，可以说转化思想是数学解题中的一个很重要的策略或解题技巧，把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，最终求得问题的解答。又如：

长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm。一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少？

由于蚂蚁是沿着长方体的表面爬行的，故可考虑把长方体展开成平面图形。根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的较短路程有两种可能，并利用勾股定理容易求出AB的长度。比较后即可求出蚂蚁爬行的最短路程。这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蚂蚁爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题。

四、分类讨论思想

在平时教学中，注重分类讨论思想的引导，可以考察学生思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解。如：

在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A，C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？

因为C 地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论。事实上，某些数学问题涉及到的概念、法则、性质、公式中分类给出的，或者在解答过程中，条件或结论不唯一时，会产生几种可能性，这时就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论。