微谐振式压力传感器的差动输出设计与建模

杨朔，邢维巍

(北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院，北京100191)

0 引言

MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems)将电气和机械部件结合在单基板上，是具有从亚微米级到毫米级结构的小型一体化设备，由于体积的缩小，机械性能的优良，设计、制造、封装工艺的不断发展和较好的成本效益［1］，孕育着广阔的前景、巨大的社会和经济效益，是传感器发展的重要趋势之一［2］。微传感器因其体积小、能耗低、响应快，应用在航空航天领域有明显优势。其中，谐振式微传感器将微机械加工技术和谐振传感技术相结合，又具有高可靠性和数字输出等优点［3］。

自J.C.Greenwood成功研制出谐振式硅微结构压力传感器以来，美国、日本和欧洲的众多著名大学(如MIT、斯坦福、Twente等)以及相关领域的跨国公司 (如德鲁克、横河、斯伦贝格等)都先后加强了谐振式硅微结构传感器及其制造工艺方面的研究力量。目前硅微机械传感器已经开始从实验室进入商业化阶段，有的已经形成了产业［4］。

谐振式硅微机械压力传感器采用复合敏感结构，被测压力直接作用于一次敏感结构感压膜片的下表面，感压膜片产生相应的应变与应力，二次敏感结构硅谐振梁 (简称硅梁)的两个固支端受到应力作用，从而使硅梁的固有频率产生变化［5］。在这种典型的微结构谐振式传感器的敏感结构的基础上，本文提出一种改进方案，使其具有差动输出，提高了抗干扰能力。通过建立数学模型，设计实际尺寸参数进行计算分析，得出硅梁的分布位置和几何参数对其振动特性的影响规律，验证了所提出的结构的设计思想和优化参数的可行性，为谐振式压力传感器敏感结构的设计提供了参考。

1 谐振敏感结构

有一种被研究过的微谐振式压力传感器的敏感结构，其一次敏感单元为矩形硅膜片，当敏感压力变化并将之转化为膜片的应变与应力时，膜片上表面架设的硅梁感受膜片的应力，其固有频率随被测压力的变化而变化。由文献 ［6］中对矩形硅膜片的相关分析知，在受到压力时，膜片中部受拉伸，而边缘受压缩，如在两区域内均架设梁谐振子，则膜片感受压力时，两区域内的梁谐振子的固有频率将向相反的方向变化。据此提出一种可实现差动测量的谐振敏感结构，示于图1。

图1所示敏感结构由矩形硅膜片、3个硅梁和边界隔离区域组成。被测压力直接作用于矩形硅膜片，使之转化为应力与应变，3个硅梁作为二次敏感元件，感受膜片上表面的应力与应变。膜片的半边长、半边宽和厚度分别用A，B，H表示。在真空封装中，将三个双端固支的硅梁键和在膜片上表面的凹槽上，使之成为整体。硅梁1的长度、宽度和厚度分别用l1，b1，h1表示;硅梁2的长度、宽度和厚度分别用l2，b2，h2表示，硅梁3使整个结构对称，其分析与硅梁2相同，下文将省略。

图1 差动输出的硅微结构谐振梁式压力传感敏感结构

2 矩形膜片模型

建立坐标系，如图2所示 (图中量值单位为mm)。要利用硅的频率特性实现测量，此种敏感结构在工作时，应使矩形膜片处于小挠度线性范围。

图2 坐标系示意和机械结构

矩形膜片底部受到压力时，其法线z方向的位移为［2］

式中:p为均布压力，Pa;μ为梁材料的泊松比，kg/m3;E为梁材料的弹性模量，Pa;为膜的最大法向位移与其厚度之比［2］。

在均布压力p作用下，矩形膜片的上表面 (z=+H/2)沿x轴和y轴的正应力分布分别为

图3所示为由公式 (3)，(4)得到的x轴和y轴上的应力曲线 (μ取0.278)。

图3 沿坐标轴分布的应力

由图3知，硅梁所感受的应力会因其所处位置的不同而不同，其固有频率也会产生相应的差别。当把梁架设的位于膜片中部一定范围内则受拉伸，固有频率随均布压力p单调增加;把梁架设的靠近膜片边缘一定范围内则受压缩，固有频率随均布压力p单调减小，这是实现差动输出的关键所在。

3 梁谐振子的位置与尺寸的确定

键合在膜片上的硅梁的尺寸相对于膜片来说足够小，以至于公式 (3)，(4)所表示的膜表面引力可以作为硅梁所受的“初始应力”。由文献 ［6］知，沿y轴的硅梁1以架设在正中央为佳。而硅梁2的一段应紧靠膜片边缘以受到最大的压缩作用。

由图3可知，x和y轴上的包含原点 (中心点)的一定范围内应力为正。若要使得沿y轴分布的硅梁1受拉，则它的长度需要控制在一定范围内;同理在膜片边缘沿x轴分布的硅梁2要受压，长度也应控制在一定范围内。若梁的两端跨过了应力曲线的零点，则梁的一部分受压，另一部分受拉，处于一种不稳定的受力状态，这种情况应当避免。

设膜片半边宽与半边长的比为λ，即λ=B/A。确定参数μ=0.278，H=0.1×10-3m，A=1×10-3m。表1讨论了当λ的值分别取1，0.9和0.8时，令y轴上硅梁1范围内σy＞0，x轴上硅梁2范围内σx＜0，得到了硅梁1与硅梁2的长度l1与l2的取值范围。可见，当A的值固定时，λ越接近1，即膜片越接近正方形，l1和l2的极限值越大。梁的长度对于梁的频率特性的影响很大，详见第4节。

表1 固定A时l1，l2与λ的关系

4 梁的结构参数与频率特性

先看硅梁1，在膜片的上表面，膜片沿y轴的位移为

根据敏感结构的实际情况及工作机理，压力作用下的在y轴方向上的梁的位移为直线，而且在梁的两端其轴向静位移和矩形膜片相应位置的轴向位移十分接近［7］。当硅梁1设置在 y∈ ［-l1/2，+l1/2］ 时，由压力引起梁的初始应力为［8］

式中:v1，v2分别为硅梁1在其两个端点y= -l1/2和y=l1/2处的沿y方向的轴向位移。在初始应力σ0y的作用下，硅梁1两端的一阶固有频率为［2］

对于硅梁2，也有类似的规律。

利用上述模型所知的规律，本文提供了一组微传感器敏感结构的参数做为参考，其压力测量范围在0～0.1 MPa，见表2。

表2 敏感结构参数参考值

在表2的情况下，分别改变硅梁1和硅梁2的尺寸，得到相对零压力下的频率变化量Δf=f(p)-f(0)及频率的相对变化率β=Δf/f(0)，p=105 Pa，见表3和表4。

可见梁的长度对固有频率变化范围有直接的影响，固定其他参数，梁的长度越大，其固有频率越低。图4所示为当硅梁1的参数满足表2、表3，且长度连续变化时，其长度与频率相对变化率的关系曲线。图5所示为当硅梁1的参数满足表2、表3，固定梁的长度不变，令其厚度连续变化时，其厚度与频率相对变化率的关系曲线。

表3 硅梁1长度尺寸对频率特性的影响

表4 硅梁2长度尺寸对频率特性的影响

图4 硅梁1长度与频率相对变化率关系曲线

图5 硅梁1厚度与频率相对变化率关系曲线

由以上可知，在硅梁长度的受限值范围内，其它参数固定且相同时，梁的长度越长，其频率相对变化率β越大，相对灵敏度越大;而当长度固定时，梁的厚度越厚，其频率相对变化率β越小，相对灵敏度越小。而由式 (6)～(9)可知，当梁的长度和厚度成固定比例时，其相对灵敏度不随长度或厚度的变化而变化。对于硅梁2，亦有类似的曲线和规律。

5 压力的解算

谐振式传感器的核心思想是将被测量转化为对谐振子的固有频率的测量，解算时，可使硅梁1与硅梁2的固有频率的函数做差，以消除共模干扰，得到表达压力大小的数字量。

对于硅梁1，其在压力p下的固有频率为

对于硅梁2，有类似表达。式中，沿y轴和x轴的应变分别为

则沿y轴和x轴的应变又可分别简化为

令固有频率的一个函数为

则硅梁1和硅梁2在压力p下的固有频率的函数可表示为

计算 γ1-γ2，提取公因子 0.2949ξp并令 X=(l1/h1)2η -(l2/h2)2θ，有

参数ξ，η，θ，X仅与结构参数有关，当各结构参数确定后，参数η，θ，ξ，X均为固定常量。所以公式(16)是一个仅与硅梁1和硅梁2的谐振频率有关的简单表达式。

6 结论

针对一种差动输出的微结构谐振式压力传感器敏感结构，对此结构进行了方案的设计和结构建模、优化，研究了关于膜片形状、梁的位置与长度、以及相对灵敏度的设计规律，给出了压力输出的差动解算方法，验证了所提出的结构的设计思想和优化参数的可行性，为谐振式压力传感器敏感结构的设计提供了参考。

［1］Madhavi K Y，Sumithradevi K A，Krishna M，et al.Analysis of Square and Circular diaphragms for a MEMS pressure sensor using a Data Mining tool［C］ //Communication Systems and Network Technologies(CSNT)，2011 International Conference on.Jammu，India:IEEE，2011:258-261.

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