解读微积分中的极限思想

钱珑

摘 要 在经济类院校的微积分教学过程中，极限思想在整个教授过程中有着至关重要的作用，它串起了微积分的核心思想。本文重点介绍了极限思想在教学期间与连续、导数以及积分的联系，从而让学生对微积分有了一个系统的认知，能够帮助学生更好地学习微积分这门课，为其相关的专业课学习打下一个坚实的基础。

关键词 极限 连续 导数 积分

中图分类号：O172.4 文献标识码：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 极限的简介

随着我国经济飞速的发展，综合国力的不断提高，许许多多造型奇特，功能强大，反映时代特色的建筑物如雨后春笋般拔地而起，在我们惊叹这些建筑的同时，我们不禁想到这些建筑物的体积和表面积应该当如何计算得知呢？我们将用极限的思想为我们揭开问题神秘的面纱。极限包含数列极限和函数极限，他们的区别在于一个是离散变化，而另一个是连续变化，但不管是离散的，还是连续的，都是研究自变量在某一变化过程中，因变量随之变化的最后结果，它是数学家在研究无穷小的问题时而得出的。在极限产生的过程中，有很多不太好解答的悖论，如：记得以前在上课的时候有位同学就问我为什么0.333€？等于1？再比方说庄子的文章“天下篇”中有这么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中就都包含了极限的思想。再如，三国时期的数学家刘微在《九章算术》的注文中，创立了一种推导圆周率的方法，即所谓的“割圆术”，他用正多边形的方法进行割圆，指出当正多边形的边越来越多的时候，它的面积与圆的面积无限接近，以至于不能再割，即与圆合体。事实上我们古代的很多诗词也有极限思想的渗入，像“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”，就体现了一种无限的境界，徐立也先生则引用“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”来让学生体会变量无限趋近于0的动态意境。这些正好与我们现代微积分的理论知识相对应，这说明我们国家很早就有了极限思想的存在，只不过缺少发现极限的眼睛。极限的厉害之处在于把本来不断变化的东西用确切的常数去表示，这样便解决了在各专业研究过程中很多难以解释的问题。而且微积分中三个最基本的定义：连续、导数、积分都是通过极限的形式去定义的，可见极限在微积分中的作用非同一般。下面我们在微积分中其它部分中去探求极限的作用。

2 极限与连续的联系

现实世界的许多事物和现象都是运动变化的，而且其变化过程是连绵不断的，如温度的变化，身高的增长。我们在微积分中主要的研究对象连续函数，是刻画变量连续变化的最好方式。从直观上说，当函数伴随着自变量的改变而改变时，如果自变量的变化不大，那么函数值的改变也应当相对甚微，不会出现大幅度的波动。从几何图像上看的话，函数所对应的图像应该是一条连续不断的曲线，没有间断。通过极限可以更加精确地描述连续函数的定义：（1）当自变量的该变量趋向于0的时候，函数值的改变量也应该趋向于0 = 0。（2）当自变量趋向于某个固定值的时候，函数值也应该趋向于相对应的函数值 （）= （）。（3）-定义： >0， >0，当∣∣<时，有∣ （） （）∣<，则称函数 （）在点连续。

函数在点的连续性意味着对应法则和极限满足运算的交换律。极限是从一点出发去研究在这一点的连续性，两点确定一条直线的思想告诉我们，利用极限，也可以研究线的特征，于是，就有了导数。

3 极限与导数的联系

我们通过变速直线运动的瞬时速度的求解和曲线在某一点切线的斜率的研究引出了导数的概念，如果告诉 = （），也就是时间与路程之间的关系，那么 = 表示的是某时段的平均速度，（） = 表示的是在时刻的瞬时速度，在函数值的改变量与自变量的改变量的比值上取相应的极限就可以把时段变成时刻，这就是极限的魅力，还有曲线在某一点切线的斜率的举例道出了导数的几何意义。通过上述两例可以引出导数的定义式：

（下转第37页）（上接第25页）

（1） （） = ，当 = + 时可以变为

（2） （） =

知道了导数的定义式后可以反过来利用导数的定义式求解相关的极限式，如：

（）= （≠0）

导数的定义是从实际问题中得来，最后它也返还到实际问题中去，利用导数可以研究函数的单调性，函数的极值，最值。如：商品平均成本最小，利润最大化等等问题。还可以研究函数的凹凸性，拐点。结合极限求函数的渐近线，这样我们就可以利用导数去描绘更多函数的图像（基本初等函数以外）。这为我们解决实际问题指明了前进的道路。

4 极限与积分的联系

我们通过曲边梯形的面积的计算去引出定积分的定义，主要的思想是“分割取近似，求和取极限”去将曲边梯形的面积用和的极限式去加以表示 = （） ，然后我们将这个和的极限式定义为函数 （）在[，]上的定积分（ （）），利用和的极限式就等于定积分，我们就可以对有些数列求和的极限将其转化为定积分计算如：（ + + … + ） = ，而且我们还知道当 （）≥0时，定积分的值就是 （）与 = ， = 以及轴所围成的曲边梯形的面积，一般情况下 （）是连续函数，根据连续函数在闭区间上的性质，我们知道所围成的平面图形是一个封闭的，后来有牛顿-莱布尼茨公式将定积分的计算化归为积分上下限在原函数中的代数差，极大地简化了定积分的计算，那么这一类积分我们称它为连续函数在闭区间上的定积分，简称：正常积分或常见积分，最后我们把正常积分推广到反常积分，也就是广义积分。广义积分分为两种，一种是无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分（瑕积分），那么在理解这两种积分的时候，我们可以从函数的定义域和值域入手去理解，定义域分为三种[， +）， （，]， （，+），（） = （）（将广义积分转化为积分的极限式去求解），通过几何意义我们还知道广义积分一般表示非封闭平面图形的面积。并且这个非封闭的图形的开口，当自变量趋向于无穷远处的时候，开口也无限趋向于闭口。

而瑕积分是指在闭区间的无界函数的积分，瑕点就是我们通常认为的无穷间断点，如： （） = （）（为瑕点），我们可以利用极限将无限区间转化为有限区间，将无界函数转化为有界函数，然后依然利用牛顿-莱布尼茨公式去加以计算。

参考文献

[1] 陶前功，严培胜.高等数学.科学出版社，2012.

[2] 赵树源.微积分.中国人民大学出版社，1982.

[3] 张伟.经济数学.中国人民大学出版社，2000.endprint

摘 要 在经济类院校的微积分教学过程中，极限思想在整个教授过程中有着至关重要的作用，它串起了微积分的核心思想。本文重点介绍了极限思想在教学期间与连续、导数以及积分的联系，从而让学生对微积分有了一个系统的认知，能够帮助学生更好地学习微积分这门课，为其相关的专业课学习打下一个坚实的基础。

关键词 极限 连续 导数 积分

中图分类号：O172.4 文献标识码：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 极限的简介

随着我国经济飞速的发展，综合国力的不断提高，许许多多造型奇特，功能强大，反映时代特色的建筑物如雨后春笋般拔地而起，在我们惊叹这些建筑的同时，我们不禁想到这些建筑物的体积和表面积应该当如何计算得知呢？我们将用极限的思想为我们揭开问题神秘的面纱。极限包含数列极限和函数极限，他们的区别在于一个是离散变化，而另一个是连续变化，但不管是离散的，还是连续的，都是研究自变量在某一变化过程中，因变量随之变化的最后结果，它是数学家在研究无穷小的问题时而得出的。在极限产生的过程中，有很多不太好解答的悖论，如：记得以前在上课的时候有位同学就问我为什么0.333€？等于1？再比方说庄子的文章“天下篇”中有这么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中就都包含了极限的思想。再如，三国时期的数学家刘微在《九章算术》的注文中，创立了一种推导圆周率的方法，即所谓的“割圆术”，他用正多边形的方法进行割圆，指出当正多边形的边越来越多的时候，它的面积与圆的面积无限接近，以至于不能再割，即与圆合体。事实上我们古代的很多诗词也有极限思想的渗入，像“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”，就体现了一种无限的境界，徐立也先生则引用“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”来让学生体会变量无限趋近于0的动态意境。这些正好与我们现代微积分的理论知识相对应，这说明我们国家很早就有了极限思想的存在，只不过缺少发现极限的眼睛。极限的厉害之处在于把本来不断变化的东西用确切的常数去表示，这样便解决了在各专业研究过程中很多难以解释的问题。而且微积分中三个最基本的定义：连续、导数、积分都是通过极限的形式去定义的，可见极限在微积分中的作用非同一般。下面我们在微积分中其它部分中去探求极限的作用。

2 极限与连续的联系

现实世界的许多事物和现象都是运动变化的，而且其变化过程是连绵不断的，如温度的变化，身高的增长。我们在微积分中主要的研究对象连续函数，是刻画变量连续变化的最好方式。从直观上说，当函数伴随着自变量的改变而改变时，如果自变量的变化不大，那么函数值的改变也应当相对甚微，不会出现大幅度的波动。从几何图像上看的话，函数所对应的图像应该是一条连续不断的曲线，没有间断。通过极限可以更加精确地描述连续函数的定义：（1）当自变量的该变量趋向于0的时候，函数值的改变量也应该趋向于0 = 0。（2）当自变量趋向于某个固定值的时候，函数值也应该趋向于相对应的函数值 （）= （）。（3）-定义： >0， >0，当∣∣<时，有∣ （） （）∣<，则称函数 （）在点连续。

函数在点的连续性意味着对应法则和极限满足运算的交换律。极限是从一点出发去研究在这一点的连续性，两点确定一条直线的思想告诉我们，利用极限，也可以研究线的特征，于是，就有了导数。

3 极限与导数的联系

我们通过变速直线运动的瞬时速度的求解和曲线在某一点切线的斜率的研究引出了导数的概念，如果告诉 = （），也就是时间与路程之间的关系，那么 = 表示的是某时段的平均速度，（） = 表示的是在时刻的瞬时速度，在函数值的改变量与自变量的改变量的比值上取相应的极限就可以把时段变成时刻，这就是极限的魅力，还有曲线在某一点切线的斜率的举例道出了导数的几何意义。通过上述两例可以引出导数的定义式：

（下转第37页）（上接第25页）

（1） （） = ，当 = + 时可以变为

（2） （） =

知道了导数的定义式后可以反过来利用导数的定义式求解相关的极限式，如：

（）= （≠0）

导数的定义是从实际问题中得来，最后它也返还到实际问题中去，利用导数可以研究函数的单调性，函数的极值，最值。如：商品平均成本最小，利润最大化等等问题。还可以研究函数的凹凸性，拐点。结合极限求函数的渐近线，这样我们就可以利用导数去描绘更多函数的图像（基本初等函数以外）。这为我们解决实际问题指明了前进的道路。

4 极限与积分的联系

我们通过曲边梯形的面积的计算去引出定积分的定义，主要的思想是“分割取近似，求和取极限”去将曲边梯形的面积用和的极限式去加以表示 = （） ，然后我们将这个和的极限式定义为函数 （）在[，]上的定积分（ （）），利用和的极限式就等于定积分，我们就可以对有些数列求和的极限将其转化为定积分计算如：（ + + … + ） = ，而且我们还知道当 （）≥0时，定积分的值就是 （）与 = ， = 以及轴所围成的曲边梯形的面积，一般情况下 （）是连续函数，根据连续函数在闭区间上的性质，我们知道所围成的平面图形是一个封闭的，后来有牛顿-莱布尼茨公式将定积分的计算化归为积分上下限在原函数中的代数差，极大地简化了定积分的计算，那么这一类积分我们称它为连续函数在闭区间上的定积分，简称：正常积分或常见积分，最后我们把正常积分推广到反常积分，也就是广义积分。广义积分分为两种，一种是无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分（瑕积分），那么在理解这两种积分的时候，我们可以从函数的定义域和值域入手去理解，定义域分为三种[， +）， （，]， （，+），（） = （）（将广义积分转化为积分的极限式去求解），通过几何意义我们还知道广义积分一般表示非封闭平面图形的面积。并且这个非封闭的图形的开口，当自变量趋向于无穷远处的时候，开口也无限趋向于闭口。

而瑕积分是指在闭区间的无界函数的积分，瑕点就是我们通常认为的无穷间断点，如： （） = （）（为瑕点），我们可以利用极限将无限区间转化为有限区间，将无界函数转化为有界函数，然后依然利用牛顿-莱布尼茨公式去加以计算。

参考文献

[1] 陶前功，严培胜.高等数学.科学出版社，2012.

[2] 赵树源.微积分.中国人民大学出版社，1982.

[3] 张伟.经济数学.中国人民大学出版社，2000.endprint

摘 要 在经济类院校的微积分教学过程中，极限思想在整个教授过程中有着至关重要的作用，它串起了微积分的核心思想。本文重点介绍了极限思想在教学期间与连续、导数以及积分的联系，从而让学生对微积分有了一个系统的认知，能够帮助学生更好地学习微积分这门课，为其相关的专业课学习打下一个坚实的基础。

关键词 极限 连续 导数 积分

中图分类号：O172.4 文献标识码：A

Interpretation of the Limit Ideas of Calculus

QIAN Long

（College of Law & Business， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract In the process of economic college calculus class teaching， the ultimate thinking has a crucial role in the whole process， which pierces the core ideas of calculus. This article focuses on the limits of thought during the teaching and continuous， derivative， and integral links， so that students have a calculus cognitive system can help students better learn calculus this course， its related specialized learning to lay a solid foundation.

Key words limit； continue； derivative； integration

1 极限的简介

随着我国经济飞速的发展，综合国力的不断提高，许许多多造型奇特，功能强大，反映时代特色的建筑物如雨后春笋般拔地而起，在我们惊叹这些建筑的同时，我们不禁想到这些建筑物的体积和表面积应该当如何计算得知呢？我们将用极限的思想为我们揭开问题神秘的面纱。极限包含数列极限和函数极限，他们的区别在于一个是离散变化，而另一个是连续变化，但不管是离散的，还是连续的，都是研究自变量在某一变化过程中，因变量随之变化的最后结果，它是数学家在研究无穷小的问题时而得出的。在极限产生的过程中，有很多不太好解答的悖论，如：记得以前在上课的时候有位同学就问我为什么0.333€？等于1？再比方说庄子的文章“天下篇”中有这么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中就都包含了极限的思想。再如，三国时期的数学家刘微在《九章算术》的注文中，创立了一种推导圆周率的方法，即所谓的“割圆术”，他用正多边形的方法进行割圆，指出当正多边形的边越来越多的时候，它的面积与圆的面积无限接近，以至于不能再割，即与圆合体。事实上我们古代的很多诗词也有极限思想的渗入，像“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”，就体现了一种无限的境界，徐立也先生则引用“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”来让学生体会变量无限趋近于0的动态意境。这些正好与我们现代微积分的理论知识相对应，这说明我们国家很早就有了极限思想的存在，只不过缺少发现极限的眼睛。极限的厉害之处在于把本来不断变化的东西用确切的常数去表示，这样便解决了在各专业研究过程中很多难以解释的问题。而且微积分中三个最基本的定义：连续、导数、积分都是通过极限的形式去定义的，可见极限在微积分中的作用非同一般。下面我们在微积分中其它部分中去探求极限的作用。

2 极限与连续的联系

现实世界的许多事物和现象都是运动变化的，而且其变化过程是连绵不断的，如温度的变化，身高的增长。我们在微积分中主要的研究对象连续函数，是刻画变量连续变化的最好方式。从直观上说，当函数伴随着自变量的改变而改变时，如果自变量的变化不大，那么函数值的改变也应当相对甚微，不会出现大幅度的波动。从几何图像上看的话，函数所对应的图像应该是一条连续不断的曲线，没有间断。通过极限可以更加精确地描述连续函数的定义：（1）当自变量的该变量趋向于0的时候，函数值的改变量也应该趋向于0 = 0。（2）当自变量趋向于某个固定值的时候，函数值也应该趋向于相对应的函数值 （）= （）。（3）-定义： >0， >0，当∣∣<时，有∣ （） （）∣<，则称函数 （）在点连续。

函数在点的连续性意味着对应法则和极限满足运算的交换律。极限是从一点出发去研究在这一点的连续性，两点确定一条直线的思想告诉我们，利用极限，也可以研究线的特征，于是，就有了导数。

3 极限与导数的联系

我们通过变速直线运动的瞬时速度的求解和曲线在某一点切线的斜率的研究引出了导数的概念，如果告诉 = （），也就是时间与路程之间的关系，那么 = 表示的是某时段的平均速度，（） = 表示的是在时刻的瞬时速度，在函数值的改变量与自变量的改变量的比值上取相应的极限就可以把时段变成时刻，这就是极限的魅力，还有曲线在某一点切线的斜率的举例道出了导数的几何意义。通过上述两例可以引出导数的定义式：

（下转第37页）（上接第25页）

（1） （） = ，当 = + 时可以变为

（2） （） =

知道了导数的定义式后可以反过来利用导数的定义式求解相关的极限式，如：

（）= （≠0）

导数的定义是从实际问题中得来，最后它也返还到实际问题中去，利用导数可以研究函数的单调性，函数的极值，最值。如：商品平均成本最小，利润最大化等等问题。还可以研究函数的凹凸性，拐点。结合极限求函数的渐近线，这样我们就可以利用导数去描绘更多函数的图像（基本初等函数以外）。这为我们解决实际问题指明了前进的道路。

4 极限与积分的联系

我们通过曲边梯形的面积的计算去引出定积分的定义，主要的思想是“分割取近似，求和取极限”去将曲边梯形的面积用和的极限式去加以表示 = （） ，然后我们将这个和的极限式定义为函数 （）在[，]上的定积分（ （）），利用和的极限式就等于定积分，我们就可以对有些数列求和的极限将其转化为定积分计算如：（ + + … + ） = ，而且我们还知道当 （）≥0时，定积分的值就是 （）与 = ， = 以及轴所围成的曲边梯形的面积，一般情况下 （）是连续函数，根据连续函数在闭区间上的性质，我们知道所围成的平面图形是一个封闭的，后来有牛顿-莱布尼茨公式将定积分的计算化归为积分上下限在原函数中的代数差，极大地简化了定积分的计算，那么这一类积分我们称它为连续函数在闭区间上的定积分，简称：正常积分或常见积分，最后我们把正常积分推广到反常积分，也就是广义积分。广义积分分为两种，一种是无限区间上的广义积分和无界函数的广义积分（瑕积分），那么在理解这两种积分的时候，我们可以从函数的定义域和值域入手去理解，定义域分为三种[， +）， （，]， （，+），（） = （）（将广义积分转化为积分的极限式去求解），通过几何意义我们还知道广义积分一般表示非封闭平面图形的面积。并且这个非封闭的图形的开口，当自变量趋向于无穷远处的时候，开口也无限趋向于闭口。

而瑕积分是指在闭区间的无界函数的积分，瑕点就是我们通常认为的无穷间断点，如： （） = （）（为瑕点），我们可以利用极限将无限区间转化为有限区间，将无界函数转化为有界函数，然后依然利用牛顿-莱布尼茨公式去加以计算。

参考文献

[1] 陶前功，严培胜.高等数学.科学出版社，2012.

[2] 赵树源.微积分.中国人民大学出版社，1982.

[3] 张伟.经济数学.中国人民大学出版社，2000.endprint