大口径精密光学元件低应力支撑结构研究

周 忆，廖 静，郭 蕊，李剑波

(重庆大学机械工程学院，重庆 400044)

大口径精密光学元件低应力支撑结构研究

周 忆，廖 静，郭 蕊，李剑波

(重庆大学机械工程学院，重庆 400044)

为了实现倾斜安装放置状态的大口径精密光学元件低应力支撑结构分析设计，采用有限元分析方法，对45°倾斜角安装放置的精密光学透镜在自重作用下的镜面面形进行了研究。首先，建立了光学透镜不同胶结结构的有限元模型，从镜面对角线横截面自重变形及镜面面形的波面误差两方面，分析了两种胶结分布方式及不同胶点大小对镜面面形的影响。然后，在胶结结构基础上，建立了不同镜框支撑结构有限元模型，从镜面面形的波面误差方面，分析了支撑力分布方式对镜面面形的影响。最后，设计了胶结及镜框支撑的低应力支撑结构。分析结果表明，采用胶点直径为30mm，矩形分布形式胶结，侧面均匀方式支撑镜框时，镜面面形的波面误差PV值为16.608 nm，RMS值为7.9385 nm，满足瑞利判据的要求，验证了支撑结构的合理性。

大口径精密光学元件;倾斜;胶结;支撑结构;有限元

1 引 言

随着空间光学、高功率激光装置和激光大气传输等领域的发展，大口径精密光学元件被广泛应用于光学系统中。为保证整个光学系统的成像质量，必须严格控制精密光学元件的精度。对于大口径光学元件，除了加工误差和在安装和使用过程中的装配、调整误差外，其精度还与其自重变形有关。光学元件的自重变形来源于自然状态下的变形以及在支撑装置中受到夹持力产生的变形［1］。为减轻自重变形对光学元件精度的影响，达到精密光学元件的精度要求，需要设计一套合理的低应力支撑结构。

大口径精密光学元件在不同支撑结构下，由自重引起的变形的分析与计算，国内外分别从光学元件的类型［2］、采用的分析方法［2－4］、处于的自然状态［5－7］及支撑方式［2－8］几个方面进行了大量的研究报道。文献［2］采用差分法分析了口径分别为230 cm和154 cm的圆形光学元件在多种支撑方式下的弹性变形，分析结果表明带支撑方法具有明显优势，尤其是正弦边缘带支撑法;文献［3］、［4］采用有限元方法建立了光学元件有限元模型，计算了特定支撑情况下的镜面变形，分析表明有限元法对于光学元件分析具有优越性;文献［5］采用有限分析法分析了两种工作状态(平放、立放)的大口径轻质镜在3种支撑方法下的镜面变形，其变形标准差均小于λ/20，满足轻质镜的变形精度要求;文献［1］采用有限元方法，对垂直安装状态下的大型光学元件在不同支撑方式下的表面变形进行了分析，设计了一个固定支承点与浮动支承相结合的超静定钢带支承结构;文献［6］对有效口径为300 mm，水平放置状态下的干涉仪参考镜在不同支承方式下的表面变形进行了分析和优化设计，所设计的结构满足技术要求。文献［7］、［8］采用有限元分析法建立了口径为400 mm，水平放置的平凸透镜的有限元模型，分析透镜在径向支撑方式(点支撑、带支撑)和相应的轴向支撑方式下的镜面变形，并给出了一种分析透镜轴向变形引起的波像差的方法。

以上研究主要是对平放和立放状态下的光学元件的支撑结构进行研究，但对倾斜放置状态的大口径光学元件研究甚少。论文针对如图1所示的倾斜安装放置的大口径精密透镜的支撑需要，采用有限元法对其支撑方式进行分析研究，最终设计出了一套满足瑞利判据要求的低应力支撑结构。

图1 倾斜放置状态的大口径精密透镜Fig.1 The slant setting large-aperture precision transmittingmirror

2 基本理论

在光学元件受力绕性变形分析中，一般把光学元件材料(玻璃)近似为弹性材料，因此可以利用弹性力学中的薄板弯曲小绕度方程和有限元法对光学元件进行受力分析［9］。薄板弯曲小绕度方程适用于环带支撑结构，考虑到光学元件的支撑需要，论文采用目前广泛使用的多点支撑结构。有限元法可以使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，因此论文采用有限元法来求解。

论文将大口径精密透镜模型离散成若干个矩形单元，每个单元如图2所示。图中矩形单元边长分别为2a和2b，分别平行于x、y轴，四个顶点为节点1，2，3，4，每个节点有两个位移分量。引入一个局部坐标系ξ、η，局部坐标系的原点与矩形单元形心重合，ξ和η轴分别与整体坐标轴x和y平行。

图2 矩形单元Fig.2 Rectangular element

利用虚功原理建立有限元方程 [K]e{δ}e= {R}e［10］，因此，单元节点位移可表示成单元刚度矩阵与 等 效 节 点 载 荷 的 乘 积，矩 阵 {δ}e= ( [ K]e)－1{R}e表示为:

公式(1)中单元刚度矩阵 [K]e可由子矩阵[kij]得到。其中子矩阵可以表示为:

式中，E为弹性模量;t为矩形单元厚度;μ为泊松比;ρ为单元单位厚度的质量，即载荷。

因此，将式(2)、(3)代入式(1)，加上边界条件，计算出每个矩形单元节点上的位移，推广到整个透镜模型，得到变形绕度ω，以及模型的应变和应力值，最终计算出大口径精密光学透镜模型面形变化。

3 倾斜安装光学元件有限元分析

文中光学元件材料为熔石英，具体参数如表1所示。建立倾斜安置状态的光学元件有限元模型，采用二次三维实体单元对其进行有限单元划分，划分后矩形实体单元12800个，得到分析模型如图3所示。

表1 光学元件参数Tab.1 Optical element parameters

3.1 胶结结构有限元分析

光学元件通过胶粘结方法固定在镜框上。相对于传统的机械连接方法，采用胶结方法不但可以改善粘接件的应力分布状况，实现其他连接方式难以解决的不同材料的连接，而且适当粘合剂的选择可达到耐温和抗震等性能要求［11］。本文所选用胶粘剂的具体参数:弹性模量E=20 GPa，泊松比μ= 0.49，密度ρ=1.1×103kg·m－3。采用各向同性一层单元建模方法建立胶层有限元模型［12］。

胶结方法的不同对光学元件的变形影响的差别较大，特别是胶结后产生的面形变化的RMS(均方根)值。在使用结构胶对镜子进行粘接时，胶点的大小及其胶结分布形式将会对镜面面形产生较大的影响［13］。

针对胶粘结的胶点大小和胶结分布方式对镜面面形的影响进行仿真分析。分析时分别对直径为21、24、27、30的胶点大小，矩形和圆形的胶结分布方式进行研究对比。图4给出了直径为24的胶点大小，矩形和圆形两种胶结分布方式示意图。针对大口径精密透镜模型的轴对称性，有限元计算数据的大量性，取模型主对角线上的截面节点变形信息来反映镜面变形。图5所示的模型主对角线上的截面变形曲线，是将分析计算得到的节点变形信息输入到Matlab软件，进行曲线置信度不低于80%的二项式拟合的结果。图5(a)所示大口径精密透镜的镜面最大变形量位于中部区域;通光范围内，镜面变形量随着胶点的直径增大而减小;图5(b)所示胶点直径为30时，矩形胶结分布方式对镜面变形的影响小于圆形胶结分布方式对镜面变形的影响，且对镜面变形的影响达到最小值742.7 nm，镜面面形精度相对最高。

图4 胶结分布方式Fig.4 Cementation distribution ways of the glue dot

光学元件镜面面形的变化对光学系统的成像质量的影响可以采用成像质量的降低程度这一指标来评价。对于高精度、小像差系统通常计算镜面变形引起的波面误差大小，其指标为峰谷(PV)值和均方根(RMS)值［1］。透镜的波面误差主要是指透射波畸变，其大小取决于透镜两个工作表面的面形和透镜材料的光学均匀性。

图5 主对角线截面自重变形Fig.5 Sag deformation ofmain diagonal cross-section

通过对胶结方式下的支撑结构进行有限元分析，研究自重作用下的透镜镜面变形，在入射波是平面波的前提条件下，得到入射面和出射面的坐标改变量，最终计算出光轴方向总变形量引起的光程差。假如入射面在单元节点上的光轴方向变形由坐标改变量(Δxr，Δyr，Δzr)表示，出射面在单元节点上的光轴方向变形由坐标改变量(Δxc，Δyc，Δzc)表示，其对应的(x，y)节点坐标的光轴方向的变形量Δz表示为Δzr(x，y)和Δzc(x，y)，则轴向总变形量(入射面和出射面相对于理想表面的光轴方向变形之间的差值)为:

透镜模型单元节点上光轴方向变形引起的光程差为:

光程差的均方根值RMS则通过以透射该条光线的有限单元面积为权重求出。根据上述方法，最终求出两种胶结分布方式下透镜波面误差的PV值和RMS值如图6所示。

图6 镜面面形波面误差Fig.6 Wave surface error ofmirror surface shape

图6所示胶粘结的胶点大小和胶结分布方式对镜面面形波面误差均有影响。根据瑞利判据，如果光程差小于或等于四分之一波长满足瑞利判据的要求，则光学系统的性能就可与完善系统的性能相媲美，而目前惯性约束聚变(ICF)领域中，钕玻璃激光器产生的激光波长为1053 nm［14］。综合比较，当胶点大小为直径30 mm，分布方式为矩形分布时，透镜自重变形引起的最大光程差为5.1951 nm，远小于0.25×1053 nm=263.25 nm，透镜波面误差最小，因此这种胶结结构能满足光学系统要求。

3.2 镜框支撑结构分析

由于透镜面形较大，在对镜框进行固定和支撑时镜框会产生一定的局部变形。对高精度(nm级)透镜的装夹，镜框的变形会传递到镜子上从而影响镜子的面形精度。对如图7所示的透镜镜框的支撑方式进行了分析。透镜镜框选用铝合金材料，具体参数:弹性模量E=70.6 GPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2.7×103kg·m－3。在胶点分布方式下，分别分析了侧面8点支撑、侧面均匀支撑、支撑底面均匀支撑、底面8点支撑时透镜面面形情况。

图7 镜框结构Fig.7 Structure of lens frame

图8给出了镜框在四种支撑方式下透镜变形云图。从图中可以看出，不同支撑方式下的镜框引起的镜面变形基本呈轴对称分布，且变形最大的位置在透镜中心处，镜框采用底面支撑的镜片最大变形值相对最小，这是由于底面支撑力对镜框及透镜自重产生了重力补偿作用。

图8 不同支撑方式下透镜变形云图Fig.8 Distortion nephogram with lens in different support schemes

表2详细列出了镜框在不同支撑方式下，镜面误差的PV值和RMS值，计算分析结果表明，镜框在不同支撑方式下透镜波面误差变化较大，均匀支撑方式产生的镜面误差明显小于点支撑方式;采用侧面支撑方式得到的镜面误差小于底面支撑方式;四种支撑方式下得到的最大光程差均小于四分之一激光波长，满足瑞利判据要求。综合考虑镜面面形精度对光学系统的影响，具有最小波面误差的侧面均匀支撑方式可以更好的满足大口径透镜面形精度要求。

表2 镜框在不同支撑方式下的波面误差Tab.2 Wave surface error of different

4 结论

利用有限元分析方法研究倾斜45°安装放置的大口径精密透镜的低应力支撑结构，建立透镜与镜框的胶结结构有限元分析模型和镜框支撑结构有限元分析模型，通过对胶点胶结分布方式、胶点大小以及镜框不同支撑方式对透镜镜面变形及波面误差的影响分析，表明在胶点大小为30 mm、矩形胶结分布方式和镜框侧面均匀支撑结构时，波面误差PV值为16.608 nm，RMS值为7.9385 nm，满足了瑞利判据要求，为设计合理的大口径光学元件支撑结构提供了依据。

［1］X Rongwei，LIU Liren，LIU Hongwei，et al.Support schemes and thermal effects analyses of large-aperture interferometer mirrors［J］.Acta Optica Sinica，2005，25 (6):809－815.(in Chinese)

徐荣伟，刘立人，刘宏展，等.大型干涉仪镜子的支承设计与温度变形分析［J］.光学学报，2005，25(6):809－815.

［2］Malvick A J.Theoretical elastic deformations of the steward observatory 230cm and the optical sciences center 154cm mirrors［J］.Applied Optics，1972，11(3): 575－585.

［3］Blgelow B C.Finite element analysis of large lenses for the keck telescope high resolution echelle spectrograph［C］//Proc of SPIE，1991，1532:15－26.

［4］Hatheway A E.Mounting for a four meter glass mirror［C］//Proc of SPIE，1990，1303:142－149.

［5］LIU Guoqing，MA Wenli.The finite element analysis for large-aperture lightweightmirrormount［J］.Opto-Elechtronic Engineering，2001，28(5):14－18.(in Chinese)

刘国庆，马文礼.大口径轻质镜支撑的有限元分析［J］.光电工程，2001，28(5):14－18.

［6］WU Xuhua，CHEN Lei，WANG Lei.Design and test of reference mirror in300 mm interferometer［J］.Optics and Precision Engineering，2007，15(8):1235－1240.(in Chinese)

武旭华，陈磊，王磊.300mm干涉仪参考镜的设计及测试［J］.光学精密工程，2007，15(8):1235－1240.

［7］Nakagawa，Yamamoto A.Performance test result of LUCE (Laser utilizing communications equipment)engineer model［C］//Proc of SPIE，2000，3932:68－76.

［8］ZHANG Dejiang，LIU Liren，X Rongwei，et al.Finite element analysis for wave front error of lenses induced by gravity［J］.Acta Optica Sinica，2005，25(4):538－542.(in Chinese)

张德江，刘立人，徐荣伟，等.透镜自重变形引起波像差的有限元分析［J］.光学学报，2005，25(4): 538－542.

［9］FENG Youjun，ZHANG Rongzhu.Optimization and analysis of active support technology of thin mirror with large aperture［J］.High Power Laser and Particle Beams.2008，20(2):239－344.(in Chinese)

冯友君，张蓉竹.大口径薄型光学镜面支撑方案的优化设计［J］.强激光与粒子束，2008，20(2):239－344.

［10］WANG Xucheng，SHAO Min.The basic principles of finite element and numerical methods［J］.Beijing:Tsinghua University，2006.(in Chinese)

王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法［M］.北京:清华大学出版社，2006.

［11］Yoder P R.Opto-mechanical systems design［M］.Beijing:China Machine Press，2008.

［12］HAN Xu，WU Qingwen，DONG Deyi，et al.Application of RTV adhesivemodeling to structure analysis of reflective mirror［J］.Optics and Precision Engineering，2010，18 (1):1128－125.(in Chinese)

韩旭，吴清文，董德义，等.室温硫化胶层建模在透镜结构分析中的应用［J］.光学精密工程，2010，18(1): 118－125.

［13］JIANG Shilei，CHEN Huaqiang.Application of epoxy resin adhesive in optical instruments［J］.China Adhesives，2004，14(3):1－4.(in Chinese)

蒋世磊，陈华强.环氧树脂胶在光学部件粘接上的应用［J］.中国胶粘剂，2004，14(3):1－4.

［14］WANG Fang，SU Jinqin，WANG Fang，et al.Optimization of Sub-wavelength grating for separating harmonic waves in ICF driver［J］.Acta Optica Sinica，2010，30(2): 508－512.(in Chinese)

王方，粟敬钦，王芳，等.用于ICF驱动器谐波分离的亚波长光栅优化设计［J］.光学学报，2010，30(2): 508－512.

Study on low-stress supporting structure for large-aperture precision optical element

ZHOU Yi，LIAO Jing，GUO Rui，LIJian-bo
(College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 510641，China)

In order to analysis and design the low-stress supporting structure for the slant setting large-aperture precision optical element，themirror figure of a slantsetting optical transmittingmirrorwith a tiltangle of45°under gravity load is studied by using finite element analysismethod.Firstly，the finite elementmodels of the optical transmitting mirror with different cemented structures are established，and the influences of the two cementation distribution ways and the different sizes of the glue dots on themirror figure are analyzed from two aspects of cross-section self-weight deformation of themirror diagonal and the wave surface error of themirror figure.Then based on the cemented structures，the finite elementmodels of different lens frame supporting structures are established，and the influence of supporting force distribution way on themirror figure is analyzed from the aspect of the wave surface error of themirror figure.Finally，the low-stress supporting structure for cementing and lens frame supporting is designed.The analysis results show that when the diameter of the glue dot is 30 mm，cementing by the way of rectangular distribution and supporting the lens frame by theway of side uniform support，the PV value and RMSvalue of thewave surface error of themirror figure are 16.608 nm and 7.93895 nm respectively，whichmeet the requirements of the Rayleigh criterion and verify the reasonableness of the support structure.

large-aperture precision optical element;slant;glue;supporting structure;finite element

TH703.3;TH744.5

A

10.3969/j.issn.1001-5078.2014.05.016

1001-5078(2014)05-0554-05

高等学校博士学科点专项科研基金(No.20110191110006);国 家 高 技 术 研 究 发 展 计 划 项 目(No.2007AA804217);中央高校基本科研业务费资助项目(No.CDJXS11111140)资助。

周 忆(1957－)，女，教授，博士生导师，主要从事精密机电系统设计与分析工作。E-mail:cdzy@cqu.edu.cn

2013-09-02